O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória contínua X, com função densidade de probabilidade f(x) = 6x(1 - x), 0 ≤ x ≤ 1. Calcule P(0 < X ≤ 1/2) e assinale a alternativa com o resultado CORRETO:
a.0,3125.
b. 0,25.
c. 0.
d. 0,5.
e. 1.
a.0,3125.
b. 0,25.
c. 0.
d. 0,5.
e. 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com uma função densidade de probabilidade dada por $ f(x) = 6x(1 - x) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. A pergunta é para calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 0 e $ \frac{1}{2} $, ou seja, $ P\left(0 < X \leq \frac{1}{2}\right) $. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de função densidade de probabilidade e integração.
Passo 2
Primeiro, lembra que para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de $ X $ estar em um intervalo
é dada pela integral da função densidade $ f(x) $ nesse intervalo. Matemáticamente, isso é:
Passo 3
No nosso caso, queremos calcular $ P\left(0 < X \leq \frac{1}{2}\right) $. Então, vamos integrar a função $ f(x) = 6x(1 - x) $ de 0 a $ \frac{1}{2} $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
- Integra de $ 6x $ em relação a $ x $:
- Integra de $ -6x^2 $ em relação a $ x $:
Então, a integral completa é:
Passo 6
Vamos calcular isso nos limites de 0 a $ \frac{1}{2} $:
Resposta
A probabilidade $ P\left(0 < X \leq \frac{1}{2}\right) $ é 0,5. Portanto, a alternativa correta é:
d. 0,5.