O método de Newton é um método numérico conhecido por ter uma ótima velocidade de convergência. Utilizando o método de Newton com 3 iterações, calcule a aproximação para a raiz da função y = 6x^3 + 20x^2 - x + 1, utilizando como aproximante inicial x_0 = - 5.
Alternativa 1:-5,0000000.
Alternativa 2:-4,0200800.
Alternativa 3:-3,5555846.
Alternativa 4:-3,4078723.
Alternativa 5:-1,0000000.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Método de Newton, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. A função que temos aqui é $ y = 6x^3 + 20x^2 - x + 1 $ e vamos começar com uma aproximação inicial de $ x_0 = -5 $. Precisamos fazer 3 iterações desse método para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton. A fórmula para atualizar nossa aproximação é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • $ f(x) $ é a função original.
  • $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $.
Então, vamos precisar calcular $ f(x) $ e $ f’(x) $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) $. Dada a função:
f(x)
A derivada é:
f(x) = 6x^3 + 20x^2 - x + 1

Passo 4

Agora, vamos iniciar a primeira iteração com $ x_0 = -5 $.
Primeiro, calculamos $ f(x_0) $:
x0 = -5
Em seguida, calculamos $ f’(x_0) $:
f(x0)
Agora, aplicamos a fórmula de Newton para encontrar $ x_1 $:
f(-5) = 6(-5)^3 + 20(-5)^2 - (-5) + 1 = 6(-125) + 20(25) + 5 + 1 = -750 + 500 + 5 + 1 = -244

Passo 5

Vamos para a segunda iteração com $ x_1 \approx -4,020 $.
Calculando $ f(x_1) $:
x1 approx -4,020
Calculando $ f’(x_1) $:
f(x1)
Agora, aplicamos a fórmula de Newton para encontrar $ x_2 $:
f(-4,020) = 6(-4,020)^3 + 20(-4,020)^2 - (-4,020) + 1 approx 6(-64,896) + 20(16,160) + 4,020 + 1 approx -389,376 + 323,200 + 4,020 + 1 approx -61,156

Passo 6

Vamos para a terceira iteração com $ x_2 \approx -3,546 $.
Calculando $ f(x_2) $:
x2 approx -3,546
Calculando $ f’(x_2) $:
f(x2)
Agora, aplicamos a fórmula de Newton para encontrar $ x_3 $:
f(-3,546) = 6(-3,546)^3 + 20(-3,546)^2 - (-3,546) + 1 approx 6(-44,612) + 20(12,586) + 3,546 + 1 approx -267,672 + 251,720 + 3,546 + 1 approx -11,406

Resposta

Após 3 iterações usando o Método de Newton, a aproximação para a raiz da função é aproximadamente -3,4078723.

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