O método de Newton é um método numérico conhecido por ter uma ótima velocidade de convergência. Utilizando o método de Newton com 3 iterações, calcule a aproximação para a raiz da função y = 6x^3 + 20x^2 - x + 1, utilizando como aproximante inicial x_0 = - 5.
Alternativa 1:-5,0000000.
Alternativa 2:-4,0200800.
Alternativa 3:-3,5555846.
Alternativa 4:-3,4078723.
Alternativa 5:-1,0000000.
Alternativa 1:-5,0000000.
Alternativa 2:-4,0200800.
Alternativa 3:-3,5555846.
Alternativa 4:-3,4078723.
Alternativa 5:-1,0000000.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Método de Newton, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. A função que temos aqui é $ y = 6x^3 + 20x^2 - x + 1 $ e vamos começar com uma aproximação inicial de $ x_0 = -5 $. Precisamos fazer 3 iterações desse método para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton. A fórmula para atualizar nossa aproximação é:
Onde:
- $ f(x) $ é a função original.
- $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $.
Então, vamos precisar calcular $ f(x) $ e $ f’(x) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) $. Dada a função:
A derivada é:
Passo 4
Agora, vamos iniciar a primeira iteração com $ x_0 = -5 $.
Primeiro, calculamos $ f(x_0) $:
Em seguida, calculamos $ f’(x_0) $:
Agora, aplicamos a fórmula de Newton para encontrar $ x_1 $:
Passo 5
Vamos para a segunda iteração com $ x_1 \approx -4,020 $.
Calculando $ f(x_1) $:
Calculando $ f’(x_1) $:
Agora, aplicamos a fórmula de Newton para encontrar $ x_2 $:
Passo 6
Vamos para a terceira iteração com $ x_2 \approx -3,546 $.
Calculando $ f(x_2) $:
Calculando $ f’(x_2) $:
Agora, aplicamos a fórmula de Newton para encontrar $ x_3 $:
Resposta
Após 3 iterações usando o Método de Newton, a aproximação para a raiz da função é aproximadamente -3,4078723.