Que diâmetro deve ter um fio de cobre para que sua resistência seja a mesma que a de um fio de alumínio com o mesmo comprimento e com diâmetro igual a 3,26 mm ? ( rhocu= 1,69 times 10^-8 Omega, m, rhoA l=2,75 times 10^-8 Omega, m )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir qual deve ser o diâmetro de um fio de cobre de modo que sua resistência seja igual à de um fio de alumínio que tem o mesmo comprimento e diâmetro de 3,26 mm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistividade e a fórmula da resistência dos fios. Precisaremos das resistividades do cobre e do alumínio, que já foram dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica:
R = rho cdot LA
Aqui, é a resistência, é a resistividade do material, é o comprimento do fio, e é a área da seção transversal do fio.

Passo 3

Como os fios têm o mesmo comprimento e queremos que as resistências sejam iguais, podemos igualar as fórmulas das resistências dos dois fios:
rhoCu cdot LACu = rhoAl cdot LAAl
Como rhoCuACu = rhoAlAAl é igual nos dois casos, podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos resolver para a área do fio de cobre ACu = rhoCurhoAl cdot AAl :

Passo 5

Sabemos que a área da seção transversal de um fio circular é dada por:
A = pi d^24
Onde ACu = pi dCu^24 é o diâmetro do fio. Vamos aplicar isso para os dois fios:
AAl = pi dAl^24

Passo 6

Substituindo as áreas na equação anterior:
pi dCu^24 = rhoCurhoAl cdot pi dAl^24
Podemos simplificar o dCu^2 = rhoCurhoAl cdot dAl^2 que aparece nos dois lados:

Passo 7

Agora, isolando dCu = dAl cdot raizrhoCurhoAl :

Passo 8

Vamos substituir os valores numéricos:
dCu = 3,26 , mm cdot raiz1,69 times 10^-8 , Omega cdot m2,75 times 10^-8 , Omega cdot m

Passo 9

Calculando a razão das resistividades:
1,69 times 10^-82,75 times 10^-8 approx 0,615
Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
raiz0,615 approx 0,784

Passo 10

Finalmente, multiplicamos pelo diâmetro do fio de alumínio:
dCu = 3,26 , mm times 0,784 approx 2,56 , mm

Resposta

O diâmetro do fio de cobre precisa ser aproximadamente 2,56 mm para que sua resistência seja igual à do fio de alumínio com diâmetro de 3,26 mm.

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