Que diâmetro deve ter um fio de cobre para que sua resistência seja a mesma que a de um fio de alumínio com o mesmo comprimento e com diâmetro igual a ? ( )
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir qual deve ser o diâmetro de um fio de cobre de modo que sua resistência seja igual à de um fio de alumínio que tem o mesmo comprimento e diâmetro de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistividade e a fórmula da resistência dos fios. Precisaremos das resistividades do cobre e do alumínio, que já foram dadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica:
Aqui, é a resistência, é a resistividade do material, é o comprimento do fio, e é a área da seção transversal do fio.
Passo 3
Como os fios têm o mesmo comprimento e queremos que as resistências sejam iguais, podemos igualar as fórmulas das resistências dos dois fios:
Como é igual nos dois casos, podemos simplificar:
Passo 4
Agora, vamos resolver para a área do fio de cobre :
Passo 5
Sabemos que a área da seção transversal de um fio circular é dada por:
Onde é o diâmetro do fio. Vamos aplicar isso para os dois fios:
Passo 6
Substituindo as áreas na equação anterior:
Podemos simplificar o que aparece nos dois lados:
Passo 7
Agora, isolando :
Passo 8
Vamos substituir os valores numéricos:
Passo 9
Calculando a razão das resistividades:
Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
Passo 10
Finalmente, multiplicamos pelo diâmetro do fio de alumínio:
Resposta
O diâmetro do fio de cobre precisa ser aproximadamente 2,56 mm para que sua resistência seja igual à do fio de alumínio com diâmetro de .