Que diâmetro deve ter um fio de cobre para que sua resistência seja a mesma que a de um fio de alumínio com o mesmo comprimento e com diâmetro igual a ? ( )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir qual deve ser o diâmetro de um fio de cobre de modo que sua resistência seja igual à de um fio de alumínio que tem o mesmo comprimento e diâmetro de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistividade e a fórmula da resistência dos fios. Precisaremos das resistividades do cobre e do alumínio, que já foram dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica:
Aqui, é a resistência, é a resistividade do material, é o comprimento do fio, e é a área da seção transversal do fio.

Passo 3

Como os fios têm o mesmo comprimento e queremos que as resistências sejam iguais, podemos igualar as fórmulas das resistências dos dois fios:
Como é igual nos dois casos, podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos resolver para a área do fio de cobre :

Passo 5

Sabemos que a área da seção transversal de um fio circular é dada por:
Onde é o diâmetro do fio. Vamos aplicar isso para os dois fios:

Passo 6

Substituindo as áreas na equação anterior:
Podemos simplificar o que aparece nos dois lados:

Passo 7

Agora, isolando :

Passo 8

Vamos substituir os valores numéricos:

Passo 9

Calculando a razão das resistividades:
Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:

Passo 10

Finalmente, multiplicamos pelo diâmetro do fio de alumínio:

Resposta

O diâmetro do fio de cobre precisa ser aproximadamente 2,56 mm para que sua resistência seja igual à do fio de alumínio com diâmetro de .

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