O diâmetro de uma tubulação que transporta água em regime permanente varia gradualmente de 150 mm , no ponto 1,6 m acima de um referencial, para 75 mm , no ponto 2,3 m acima do referencial. A pressão no ponto 1 vale 103 KN / m^2 e a velocidade média é 3,6 m / s. Desprezando as perdas de carga, determine a pressão no ponto 2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos juntos! A gente tem um tubo que transporta água de forma constante, e o diâmetro desse tubo muda de 150 mm para 75 mm entre dois pontos diferentes. A pressão no primeiro ponto é de 103 KN/m² e a velocidade média da água é 3,6 m/s. Queremos descobrir qual é a pressão no segundo ponto, ignorando as perdas de carga. Para isso, vamos usar a equação da continuidade e a equação de Bernoulli. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área das seções transversais nos pontos 1 e 2 do tubo. A área de um círculo é dada por:
A = pi (d2)^2
Onde A1 = pi (0,1502)^2 = pi times (0,075)^2 approx 0,0177 , m² é o diâmetro.
  • Para o ponto 1, com diâmetro A2 = pi (0,0752)^2 = pi times (0,0375)^2 approx 0,0044 , m² mm = 0,150 m:
²
  • Para o ponto 2, com diâmetro mm = 0,075 m:
²

Passo 3

Agora, usamos a equação da continuidade, que nos diz que a vazão (ou fluxo) é constante em um fluxo estacionário. A equação é:
A1 times V1 = A2 times V2
Temos V2 = A1 times V1A2 = 0,0177 times 3,60,0044 approx 14,47 , m/s , e . Queremos encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluxo:
P1 + 12 rho V1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho V2^2 + rho g h2
Vamos reorganizar para encontrar P2 = P1 + 12 rho V1^2 - 12 rho V2^2 + rho g (h1 - h2) :
Onde:
  • é a densidade da água ( ³)
  • é a aceleração da gravidade ( ²)
  • e

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação:
P2 = 103000 , N/m² + 12 times 1000 times (3,6)^2 - 12 times 1000 times (14,47)^2 + 1000 times 9,81 times (1,6 - 2,3) ²
Calculando cada termo:
12 times 1000 times (3,6)^2 = 0,5 times 1000 times 12,96 = 6480 , N/m² ²
12 times 1000 times (14,47)^2 = 0,5 times 1000 times 209,3 approx 104650 , N/m² ²
1000 times 9,81 times (1,6 - 2,3) = 1000 times 9,81 times (-0,7) approx -6867 , N/m² ²
Agora, somando tudo:
P2 = 103000 + 6480 - 104650 - 6867 approx 103000 + 6480 = 109480
109480 - 104650 = 4830
4830 - 6867 approx -2037 , N/m² ²

Resposta

A pressão no ponto 2 é aproximadamente −2037 N/m². Isso indica que, nas condições dadas e ignorando as perdas de carga, a pressão no ponto 2 é menor que no ponto 1.

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