Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a
, com um coeficiente de transferência de calor convectiva
, e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts = 280 K. A emissividade da superfície é
. Determine a temperatura de equilíbrio da placa.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma placa metálica com área
que está isolada de um lado e exposta ao sol do outro. Ela absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m². Para alcançar o equilíbrio térmico, a placa dissipa essa energia por dois modos: convecção para o ar ambiente e radiação para o ambiente ao redor. A temperatura ambiente é
, o coeficiente de transferência de calor por convecção é
, a superfície emite radiação como um corpo negro a
, e a emissividade da superfície é
. Nosso objetivo é determinar a temperatura de equilíbrio da placa, ou seja, a temperatura onde a energia absorvida é igual à energia dissipada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, no equilíbrio térmico, a energia absorvida pela placa deve ser igual à energia que ela dissipa. A placa absorve energia do sol e dissipa por convecção e radiação. Então, temos:
Passo 3
A energia absorvida pelo sol é dada por:
Passo 4
A energia dissipada por convecção é calculada pela fórmula:
Aqui,
é a temperatura da placa que queremos encontrar.
Passo 5
A energia dissipada por radiação é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann:
Onde
é a constante de Stefan-Boltzmann, que vale aproximadamente
.
Passo 6
Agora, igualamos a energia absorvida à soma das energias dissipada por convecção e radiação:
Observamos que a área
aparece em todos os termos, então podemos simplificar dividindo a equação por
:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Passo 8
Rearranjando os termos:
Calculando o termo constante:
Então, a equação fica:
Passo 9
Simplificando mais:
Subtraindo 500 de ambos os lados:
Passo 10
Essa é uma equação polinomial de quarto grau. Para resolver, podemos usar métodos numéricos ou aproximar a solução. Como é complexo resolver analiticamente, vamos usar uma aproximação.
Vamos supor inicialmente que a contribuição da radiação é pequena comparada à convecção, então:
Resolvendo:
Resposta
A temperatura de equilíbrio da placa é aproximadamente
.