Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a T infty=300 K, com um coeficiente de transferência de calor convectiva h=20 W /(m 2 ^circ C), e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts = 280 K. A emissividade da superfície é varepsilon=0,9. Determine a temperatura de equilíbrio da placa.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma placa metálica com área que está isolada de um lado e exposta ao sol do outro. Ela absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m². Para alcançar o equilíbrio térmico, a placa dissipa essa energia por dois modos: convecção para o ar ambiente e radiação para o ambiente ao redor. A temperatura ambiente é , o coeficiente de transferência de calor por convecção é , a superfície emite radiação como um corpo negro a , e a emissividade da superfície é . Nosso objetivo é determinar a temperatura de equilíbrio da placa, ou seja, a temperatura onde a energia absorvida é igual à energia dissipada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, no equilíbrio térmico, a energia absorvida pela placa deve ser igual à energia que ela dissipa. A placa absorve energia do sol e dissipa por convecção e radiação. Então, temos:
Energia absorvida = Energia dissipada por convecção + Energia dissipada por radiação çãçã

Passo 3

A energia absorvida pelo sol é dada por:
Pabsorvida = Taxa de absorção times Área = 500 , W/m^2 times A = 500A , W çãÁ

Passo 4

A energia dissipada por convecção é calculada pela fórmula:
Pconvecção = h times A times (Tplaca - Tinfty) çã
Aqui, é a temperatura da placa que queremos encontrar.

Passo 5

A energia dissipada por radiação é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann:
Pradiação = varepsilon times sigma times A times (Tplaca^4 - Ts^4) çã
Onde é a constante de Stefan-Boltzmann, que vale aproximadamente .

Passo 6

Agora, igualamos a energia absorvida à soma das energias dissipada por convecção e radiação:
500A = h A (Tplaca - 300) + varepsilon sigma A (Tplaca^4 - 280^4)
Observamos que a área 500 = h (Tplaca - 300) + varepsilon sigma (Tplaca^4 - 280^4) aparece em todos os termos, então podemos simplificar dividindo a equação por :

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
500 = 20 (Tplaca - 300) + 0,9 times 5,67 times 10^-8 (Tplaca^4 - 280^4)
Simplificando:
500 = 20Tplaca - 6000 + 5,103 times 10^-8 (Tplaca^4 - 615,0944 times 10^6)

Passo 8

Rearranjando os termos:
20Tplaca - 6000 + 5,103 times 10^-8 Tplaca^4 - 5,103 times 10^-8 times 615,0944 times 10^6 = 500
Calculando o termo constante:
5,103 times 10^-8 times 615,0944 times 10^6 approx 31,35
Então, a equação fica:
20Tplaca - 6000 + 5,103 times 10^-8 Tplaca^4 - 31,35 = 500

Passo 9

Simplificando mais:
5,103 times 10^-8 Tplaca^4 + 20Tplaca - 6031,35 = 500
Subtraindo 500 de ambos os lados:
5,103 times 10^-8 Tplaca^4 + 20Tplaca - 6531,35 = 0

Passo 10

Essa é uma equação polinomial de quarto grau. Para resolver, podemos usar métodos numéricos ou aproximar a solução. Como é complexo resolver analiticamente, vamos usar uma aproximação.
Vamos supor inicialmente que a contribuição da radiação é pequena comparada à convecção, então:
500 approx 20 (Tplaca - 300)
Resolvendo:
500 = 20Tplaca - 6000
20Tplaca = 6500
Tplaca = 325 , K

Resposta

A temperatura de equilíbrio da placa é aproximadamente .

Exercícios relacionados