Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a , com um coeficiente de transferência de calor convectiva , e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts = 280 K. A emissividade da superfície é . Determine a temperatura de equilíbrio da placa.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma placa metálica com área que está isolada de um lado e exposta ao sol do outro. Ela absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m². Para alcançar o equilíbrio térmico, a placa dissipa essa energia por dois modos: convecção para o ar ambiente e radiação para o ambiente ao redor. A temperatura ambiente é , o coeficiente de transferência de calor por convecção é , a superfície emite radiação como um corpo negro a , e a emissividade da superfície é . Nosso objetivo é determinar a temperatura de equilíbrio da placa, ou seja, a temperatura onde a energia absorvida é igual à energia dissipada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, no equilíbrio térmico, a energia absorvida pela placa deve ser igual à energia que ela dissipa. A placa absorve energia do sol e dissipa por convecção e radiação. Então, temos:
çãçã

Passo 3

A energia absorvida pelo sol é dada por:
çãÁ

Passo 4

A energia dissipada por convecção é calculada pela fórmula:
çã
Aqui, é a temperatura da placa que queremos encontrar.

Passo 5

A energia dissipada por radiação é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann:
çã
Onde é a constante de Stefan-Boltzmann, que vale aproximadamente .

Passo 6

Agora, igualamos a energia absorvida à soma das energias dissipada por convecção e radiação:
Observamos que a área aparece em todos os termos, então podemos simplificar dividindo a equação por :

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:

Passo 8

Rearranjando os termos:
Calculando o termo constante:
Então, a equação fica:

Passo 9

Simplificando mais:
Subtraindo 500 de ambos os lados:

Passo 10

Essa é uma equação polinomial de quarto grau. Para resolver, podemos usar métodos numéricos ou aproximar a solução. Como é complexo resolver analiticamente, vamos usar uma aproximação.
Vamos supor inicialmente que a contribuição da radiação é pequena comparada à convecção, então:
Resolvendo:

Resposta

A temperatura de equilíbrio da placa é aproximadamente .

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