Um escoamento é representado pelo campo de velocidade
. Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo de velocidade de escoamento e precisa verificar duas coisas: (a) se o escoamento é incompressível e (b) se é irrotacional. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Para isso, a divergência do campo de velocidade precisa ser igual a zero. A divergência é dada por:
Passo 3
Vamos calcular
. Dado que:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Dado que:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Somando as duas derivadas para obter a divergência:
Passo 6
Para o escoamento ser incompressível, a divergência deve ser zero:
Podemos fatorar por 14:
Isso só é zero se cada termo dentro dos parênteses for zero, o que não acontece para todos os valores de
e
. Portanto, a divergência não é zero em geral.
Passo 7
Agora, vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Para isso, o rotacional do campo de velocidade deve ser zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
. Dado que:
Derivando em relação a
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
. Dado que:
Derivando em relação a
:
Passo 10
Subtraindo as duas derivadas para obter o rotacional:
Passo 11
Para o escoamento ser irrotacional, o rotacional deve ser zero:
Podemos fatorar por 84x:
Isso só é zero se
ou se o termo dentro dos parênteses for zero, o que não acontece para todos os valores de
e
. Portanto, o rotacional não é zero em geral.
Resposta
(a) O escoamento não é incompressível.
(b) O escoamento não é irrotacional.
(b) O escoamento não é irrotacional.
Exercícios relacionados
Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a
, com um coeficiente de transferência de calor convectiva
, e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts = 280 K. A emissividade da superfície é
. Determine a temperatura de equilíbrio da placa.
O número de Reynolds, Re, é um número adimensional muito importante na mecânica dos fluidos. Sua definição é dada por:
, onde
e
representam a massa específica e a viscosidade do fluido,
é a velocidade e
é um comprimento característico. Considerando esta definição, determine as unidades da viscosidade.
O diâmetro de uma tubulação que transporta água em regime permanente varia gradualmente de 150 mm , no ponto
acima de um referencial, para 75 mm , no ponto
acima do referencial. A pressão no ponto 1 vale
e a velocidade média é
. Desprezando as perdas de carga, determine a pressão no ponto 2 .
Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando o sistema genérico MLtT (
massa,
comprimento,
tempo,
temperatura). Também forneça as unidades no sistema SI.
© Força
© Força