Um escoamento é representado pelo campo de velocidade
. Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo de velocidade de escoamento e precisa verificar duas coisas: (a) se o escoamento é incompressível e (b) se é irrotacional. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Para isso, a divergência do campo de velocidade precisa ser igual a zero. A divergência é dada por:
Passo 3
Vamos calcular
. Dado que:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Dado que:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Somando as duas derivadas para obter a divergência:
Passo 6
Para o escoamento ser incompressível, a divergência deve ser zero:
Podemos fatorar por 14:
Isso só é zero se cada termo dentro dos parênteses for zero, o que não acontece para todos os valores de
e
. Portanto, a divergência não é zero em geral.
Passo 7
Agora, vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Para isso, o rotacional do campo de velocidade deve ser zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
. Dado que:
Derivando em relação a
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
. Dado que:
Derivando em relação a
:
Passo 10
Subtraindo as duas derivadas para obter o rotacional:
Passo 11
Para o escoamento ser irrotacional, o rotacional deve ser zero:
Podemos fatorar por 84x:
Isso só é zero se
ou se o termo dentro dos parênteses for zero, o que não acontece para todos os valores de
e
. Portanto, o rotacional não é zero em geral.
Resposta
(a) O escoamento não é incompressível.
(b) O escoamento não é irrotacional.
(b) O escoamento não é irrotacional.