Um escoamento é representado pelo campo de velocidade (x^7-21 x^5 y^2+35 x^3 y^4-7 x y^6) i+(7 x^6 y-35 x^4 y^3+21 x^2 y^5-y^7) j. Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo de velocidade de escoamento e precisa verificar duas coisas: (a) se o escoamento é incompressível e (b) se é irrotacional. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Para isso, a divergência do campo de velocidade precisa ser igual a zero. A divergência é dada por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y

Passo 3

Vamos calcular partial Vxpartial x. Dado que:
Vx = x^7 - 21x^5y^2 + 35x^3y^4 - 7xy^6
Derivando em relação a x:
partial Vxpartial x = 7x^6 - 105x^4y^2 + 105x^2y^4 - 7y^6

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Vypartial y. Dado que:
Vy = 7x^6y - 35x^4y^3 + 21x^2y^5 - y^7
Derivando em relação a y:
partial Vypartial y = 7x^6 - 105x^4y^2 + 105x^2y^4 - 7y^6

Passo 5

Somando as duas derivadas para obter a divergência:
nabla cdot V = (7x^6 - 105x^4y^2 + 105x^2y^4 - 7y^6) + (7x^6 - 105x^4y^2 + 105x^2y^4 - 7y^6)
nabla cdot V = 14x^6 - 210x^4y^2 + 210x^2y^4 - 14y^6

Passo 6

Para o escoamento ser incompressível, a divergência deve ser zero:
14x^6 - 210x^4y^2 + 210x^2y^4 - 14y^6 = 0
Podemos fatorar por 14:
14(x^6 - 15x^4y^2 + 15x^2y^4 - y^6) = 0
Isso só é zero se cada termo dentro dos parênteses for zero, o que não acontece para todos os valores de x e y. Portanto, a divergência não é zero em geral.

Passo 7

Agora, vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Para isso, o rotacional do campo de velocidade deve ser zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
nabla times V = partial Vypartial x - partial Vxpartial y

Passo 8

Vamos calcular partial Vypartial x. Dado que:
Vy = 7x^6y - 35x^4y^3 + 21x^2y^5 - y^7
Derivando em relação a x:
partial Vypartial x = 42x^5y - 140x^3y^3 + 42x y^5

Passo 9

Agora, vamos calcular partial Vxpartial y. Dado que:
Vx = x^7 - 21x^5y^2 + 35x^3y^4 - 7xy^6
Derivando em relação a y:
partial Vxpartial y = -42x^5y + 140x^3y^3 - 42x y^5

Passo 10

Subtraindo as duas derivadas para obter o rotacional:
nabla times V = (42x^5y - 140x^3y^3 + 42x y^5) - (-42x^5y + 140x^3y^3 - 42x y^5)
nabla times V = 84x^5y - 280x^3y^3 + 84x y^5

Passo 11

Para o escoamento ser irrotacional, o rotacional deve ser zero:
84x^5y - 280x^3y^3 + 84x y^5 = 0
Podemos fatorar por 84x:
84x(x^4y - 103x^2y^3 + y^5) = 0
Isso só é zero se x=0 ou se o termo dentro dos parênteses for zero, o que não acontece para todos os valores de x e y. Portanto, o rotacional não é zero em geral.

Resposta

(a) O escoamento não é incompressível.
(b) O escoamento não é irrotacional.

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