Um escoamento é representado pelo campo de velocidade . Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo de velocidade de escoamento e precisa verificar duas coisas: (a) se o escoamento é incompressível e (b) se é irrotacional. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Para isso, a divergência do campo de velocidade precisa ser igual a zero. A divergência é dada por:

Passo 3

Vamos calcular . Dado que:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Dado que:
Derivando em relação a :

Passo 5

Somando as duas derivadas para obter a divergência:

Passo 6

Para o escoamento ser incompressível, a divergência deve ser zero:
Podemos fatorar por 14:
Isso só é zero se cada termo dentro dos parênteses for zero, o que não acontece para todos os valores de e . Portanto, a divergência não é zero em geral.

Passo 7

Agora, vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Para isso, o rotacional do campo de velocidade deve ser zero. Em duas dimensões, o rotacional é dado por:

Passo 8

Vamos calcular . Dado que:
Derivando em relação a :

Passo 9

Agora, vamos calcular . Dado que:
Derivando em relação a :

Passo 10

Subtraindo as duas derivadas para obter o rotacional:

Passo 11

Para o escoamento ser irrotacional, o rotacional deve ser zero:
Podemos fatorar por 84x:
Isso só é zero se ou se o termo dentro dos parênteses for zero, o que não acontece para todos os valores de e . Portanto, o rotacional não é zero em geral.

Resposta

(a) O escoamento não é incompressível.
(b) O escoamento não é irrotacional.

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