Os diâmetros de colisão do hidrogênio e do nitrogênio são, respectivamente, 292 pm= 292 times 10^-12 m e 368 pm=368 times 10^-12 m. Em 20^circ C e 1,0 atm,
(a) calcule o livre caminho médio da molécula de hidrogênio.
(b) Quão maior é o livre caminho médio da molécula de hidrogênio em relação ao da molécula de nitrogênio?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem os diâmetros de colisão das moléculas de hidrogênio e nitrogênio, que são 292 pm e 368 pm, respectivamente. A temperatura é 20^circ C e a pressão é 1,0 atm. Precisamos calcular o livre caminho médio da molécula de hidrogênio e comparar esse valor com o do nitrogênio. Para resolver isso, vamos usar a teoria dos gases e a fórmula do livre caminho médio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o livre caminho médio. Ele representa a distância média que uma molécula percorre antes de colidir com outra molécula. Isso é importante porque nos dá uma ideia de quanto as moléculas estão “espaçadas” no gás.

Passo 3

A fórmula para calcular o livre caminho médio ( lambda) é:
lambda = 1raiz2 cdot n cdot sigma
Onde:
  • raiz2 é um fator que leva em conta a distribuição de velocidades das moléculas.
  • n é a densidade de moléculas por unidade de volume.
  • sigma é a seção de choque, que depende do diâmetro das moléculas.

Passo 4

Vamos primeiro calcular a densidade de moléculas ( n). Para isso, usamos a equação dos gases ideais:
PV = NkT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • N é o número de moléculas,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura em Kelvin.
Rearranjando para encontrar n = NV:
n = PkT
Vamos converter a temperatura para Kelvin:
T = 20^circ C + 273,15 = 293,15 K
Agora, substituindo os valores:
n = 1,0 times 10^5 Pa1,38 times 10^-23 J/K times 293,15 K approx 2,34 times 10^25 moléculas/m^3 é

Passo 5

Agora, vamos calcular a seção de choque ( sigma) para o hidrogênio. A seção de choque é dada por:
sigma = pi d^2
Onde d é o diâmetro de colisão. Para o hidrogênio:
d = 292 times 10^-12 m
Então,
sigma = pi times (292 times 10^-12 m)^2 approx 2,68 times 10^-19 m^2
Agora, podemos calcular o livre caminho médio para o hidrogênio:
lambda = 1raiz2 times 2,34 times 10^25 m^-3 times 2,68 times 10^-19 m^2 approx 1,0 times 10^-3 m = 1,0 mm

Passo 6

Para a parte (b), precisamos comparar o livre caminho médio do hidrogênio com o do nitrogênio. Vamos repetir os passos anteriores para o nitrogênio.
Diâmetro de colisão do nitrogênio:
d = 368 times 10^-12 m
Seção de choque:
sigma = pi times (368 times 10^-12 m)^2 approx 4,25 times 10^-19 m^2
Livre caminho médio para o nitrogênio:
lambda = 1raiz2 times 2,34 times 10^25 m^-3 times 4,25 times 10^-19 m^2 approx 5,7 times 10^-4 m = 0,57 mm

Resposta

(a) O livre caminho médio da molécula de hidrogênio é aproximadamente 1,0 mm.
(b) O livre caminho médio do hidrogênio é cerca de 1,75 vezes maior que o do nitrogênio.

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