Em dias tipicos de verão, grilos do campo beliscam, pulam e cricrilam intermitantemente. Porém, durante a noite, quando um grande número deles se junta, o cricrilar sc torna um sério problema e tende a ser unissono. Em I897, A. E. Dolbear (Am. Naturalist, 31, 970) reportou que a taxa deste cricrilar social dependia da temperatura, sendo dada por:
(número de cricrilados em 15 segundos) +40= (temperatura, ^circ F )
Considerando que a taxa de cricrilados é uma medida direta da taxa metabólica, encontre a energia de ativação em kJ / mol destes grilos, na faixa de temperatura de 60 a 80^circ F.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema que envolve a taxa de cricrilar dos grilos, que depende da temperatura. A gente vai usar conceitos de cinética química, especificamente a Equação de Arrhenius, para encontrar a energia de ativação dos grilos nessa faixa de temperatura de 60 a 80ºF. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura afeta a taxa de reação e usar as informações dadas para calcular a energia de ativação em kJ/mol.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a taxa de cricrilar e a temperatura. A equação dada é:
Número de cricrilados em 15 segundos + 40 = Temperatura, ^circ F ú
Vamos chamar a taxa de cricrilar de k + 40 = TF . Então, podemos reescrever a equação como:
onde é a temperatura em graus Fahrenheit.

Passo 3

Para usar a Equação de Arrhenius, precisamos da temperatura em Kelvin. Vamos converter as temperaturas de 60ºF e 80ºF para Kelvin. A fórmula para converter Fahrenheit para Kelvin é:
TK = (TF - 321.8) + 273.15
Vamos calcular:
Para 60ºF:
TK1 = (60 - 321.8) + 273.15 = (281.8) + 273.15 approx 15.56 + 273.15 = 288.71 , K
Para 80ºF:
TK2 = (80 - 321.8) + 273.15 = (481.8) + 273.15 approx 26.67 + 273.15 = 299.82 , K

Passo 4

Agora, vamos determinar as taxas de cricrilar ( k1 + 40 = 60 Rightarrow k1 = 60 - 40 = 20 , cricrilados em 15 segundos ) para essas temperaturas usando a equação k2 + 40 = 80 Rightarrow k2 = 80 - 40 = 40 , cricrilados em 15 segundos .
Para 60ºF:
Para 80ºF:

Passo 5

A Equação de Arrhenius relaciona a taxa de reação com a temperatura:
k = A e^-EaR T
Onde:
  • é a taxa de reação,
  • é o fator preexponencial,
  • é a energia de ativação,
  • é a constante dos gases (8.314 J/mol·K),
  • é a temperatura em Kelvin.
Vamos usar essa equação para os dois pontos de temperatura que temos.

Passo 6

Vamos montar a relação entre k2k1 = A e^-EaR T2A e^-EaR T1 = e^-EaR T2 + EaR T1 = e^Ea ( 1R T1 - 1R T2 ) e ln(k2k1) = Ea ( 1R T1 - 1R T2 ) :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 7

Agora, vamos isolar Ea = ln(k2k1)1R T1 - 1R T2 = R ln(k2k1)1T1 - 1T2 :

Passo 8

Substituindo os valores que temos:
k1 = 20, k2 = 40, T1 = 288.71 , K, T2 = 299.82 , K, R = 8.314 , J/mol·K
Calculando 1T1 - 1T2 = 1288.71 - 1299.82 approx 0.003464 - 0.003337 = 0.000127 , K^-1
E:
Ea = 8.314 times 0.69310.000127 approx 5.7640.000127 approx 45402 , J/mol = 45.4 , kJ/mol
Então:

Resposta

A energia de ativação dos grilos está aproximadamente 45,4 kJ/mol na faixa de temperatura de 60 a 80ºF.

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