Dibujar la curva de nivel que corresponde a para la función dada por y hallar un vector normal a varios puntos de la curva

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a curva de nível correspondente a para a função e encontrar um vetor normal em vários pontos dessa curva. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função tem um valor constante . Ou seja, .
No nosso caso, temos , então vamos resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação para :
Então, a curva de nível para é a própria função seno, ou seja, . Isso significa que o gráfico dessa curva é a onda senoidal padrão.

Passo 4

Agora, vamos encontrar um vetor normal à curva em vários pontos. Um vetor normal é perpendicular à curva naquele ponto. Para encontrar isso, precisamos calcular o gradiente da função .
O gradiente de , denotado por , é dado por:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais de :
Então, o gradiente é:
Esse gradiente é um vetor normal à curva em qualquer ponto .

Passo 6

Vamos aplicar isso em alguns pontos específicos da curva:
  1. Ponto :
  2. Ponto :
  3. Ponto :

Resposta

A curva de nível para é . Em pontos como , e , vetores normais são, respectivamente, , e .

Exercícios relacionados

Dadas as funções abaixo, calcule o indicado, sendo:

?
Sea .
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto en la dirección del vector .
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que ) es la temperatura en ( ) y compara este resultado con la razón de variación horizontal y vertical.