Dibujar la curva de nivel que corresponde a
para la función dada por
y hallar un vector normal a varios puntos de la curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a curva de nível correspondente a
para a função
e encontrar um vetor normal em vários pontos dessa curva. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis,
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função tem um valor constante
. Ou seja,
.
No nosso caso, temos
, então vamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação para
:
Então, a curva de nível para
é a própria função seno, ou seja,
. Isso significa que o gráfico dessa curva é a onda senoidal padrão.
Passo 4
Agora, vamos encontrar um vetor normal à curva
em vários pontos. Um vetor normal é perpendicular à curva naquele ponto. Para encontrar isso, precisamos calcular o gradiente da função
.
O gradiente de
, denotado por
, é dado por:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais de
:
Então, o gradiente é:
Esse gradiente é um vetor normal à curva
em qualquer ponto
.
Passo 6
Vamos aplicar isso em alguns pontos específicos da curva:
-
Ponto
: -
Ponto
: -
Ponto
:
Resposta
A curva de nível para
é
. Em pontos como
,
e
, vetores normais são, respectivamente,
,
e
.
Exercícios relacionados
Dadas as funções abaixo, calcule o indicado, sendo:
?
Sea
.
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto en la dirección del vector
.
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que ) es la temperatura en (
) y compara este resultado con la razón de variación horizontal y vertical.
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que