lim x 0 (1-cos x) sen(1-cos x)1-2 cos x+cos ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente cosseno e seno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas aproximações de e quando está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: 1 - 2 cos x + cos^2 x = (1 - cos x)^2 . Observamos que isso é igual a (1 - cos x) sin(1 - cos x)(1 - cos x)^2 , já que:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por sin(1 - cos x)1 - cos x :
Isso simplifica nossa tarefa para encontrar o limite dessa nova expressão quando se aproxima de 0.

Passo 4

Sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Aqui, . Então, precisamos primeiro entender o comportamento de quando está perto de 0.

Passo 5

Usando a aproximação de Taylor para cos x approx 1 - x^22 perto de 0:
1 - cos x approx x^22
Portanto:
Assim, , que também se aproxima de 0 conforme se aproxima de 0.

Passo 6

Agora, aplicando a aproximação de sin(1 - cos x)1 - cos x approx 1 quando :
Portanto, o limite original se simplifica para 1.

Resposta

O limite é igual a 1.

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