Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente cosseno e seno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas aproximações de
e
quando
está próximo de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
. Observamos que isso é igual a
, já que:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por
:
Isso simplifica nossa tarefa para encontrar o limite dessa nova expressão quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Sabemos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Aqui,
. Então, precisamos primeiro entender o comportamento de
quando
está perto de 0.
Passo 5
Usando a aproximação de Taylor para
perto de 0:
Portanto:
Assim,
, que também se aproxima de 0 conforme
se aproxima de 0.
Passo 6
Agora, aplicando a aproximação de
quando
:
Portanto, o limite original se simplifica para 1.
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Dibujar la curva de nivel que corresponde a
para la función dada por
y hallar un vector normal a varios puntos de la curva
Sea
.
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto en la dirección del vector
.
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que ) es la temperatura en (
) y compara este resultado con la razón de variación horizontal y vertical.
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que
Seja a função
determine os seguintes limites: