Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente cosseno e seno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas aproximações de e quando está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: . Observamos que isso é igual a , já que:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por :
Isso simplifica nossa tarefa para encontrar o limite dessa nova expressão quando se aproxima de 0.

Passo 4

Sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Aqui, . Então, precisamos primeiro entender o comportamento de quando está perto de 0.

Passo 5

Usando a aproximação de Taylor para perto de 0:
Portanto:
Assim, , que também se aproxima de 0 conforme se aproxima de 0.

Passo 6

Agora, aplicando a aproximação de quando :
Portanto, o limite original se simplifica para 1.

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Dibujar la curva de nivel que corresponde a para la función dada por y hallar un vector normal a varios puntos de la curva
Sea .
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto en la dirección del vector .
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que ) es la temperatura en ( ) y compara este resultado con la razón de variación horizontal y vertical.
Seja a função
determine os seguintes limites: