Sea f(x, y) = x^3 * y^2.
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto P = (-1, 2) en la dirección del vector v = 4i - 3j.
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que f(x, y) ) es la temperatura en ( x, y ) y compara este resultado con la razón de variación horizontal y vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função e precisa calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Além disso, na parte b), vamos entender o que isso significa se representar a temperatura no ponto e comparar com as variações horizontal e vertical.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular gradientes e normalizar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada por:
Onde:
  • é o gradiente da função no ponto .
  • é o vetor unitário na direção de .
Então, nosso primeiro passo é encontrar o gradiente de no ponto .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é .

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário . A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu comprimento (magnitude).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é igual a 12.

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