Sea
.
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto
en la dirección del vector
.
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que
) es la temperatura en (
) y compara este resultado con la razón de variación horizontal y vertical.
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto
b) Explicar el significado de la parte a suponiendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função
e precisa calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Além disso, na parte b), vamos entender o que isso significa se
representar a temperatura no ponto
e comparar com as variações horizontal e vertical.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular gradientes e normalizar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é dada por:
Onde:
-
é o gradiente da função no ponto . -
é o vetor unitário na direção de .
Então, nosso primeiro passo é encontrar o gradiente de
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é
.
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor
para obter o vetor unitário
. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu comprimento (magnitude).
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é igual a 12.