(1,0 ponto) Dada a função f(x) = 4x^3 - x^4, determine ou faça o que se pede: Um esboço completo do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa desenhar o gráfico completo dela. Para fazer isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de funções polinomiais, como interceptos, derivadas para achar máximos e mínimos, e até a concavidade da função. Tudo isso vai ajudar a gente a entender como o gráfico se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como é um polinômio, o domínio é todo número real, ou seja, .
Agora, vamos encontrar os interceptos:
  • Intercepto com o eixo y: é onde .
    Então, o intercepto com o eixo y é .
  • Interceptos com o eixo x: são os valores de que tornam .
    Isso dá (de multiplicidade 3) e . Então, os interceptos com o eixo x são e .

Passo 3

Vamos verificar se a função é simétrica, ou seja, se é par, ímpar ou sem simetria específica.
Para isso, verificamos:
  • Função par: ?
  • Função ímpar: ?
Então, a função não é nem par nem ímpar. Não tem simetria específica.

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de para encontrar onde a função tem máximos e mínimos.
Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Isso dá e .
Para saber se são máximos ou mínimos, vamos analisar a derivada segunda.

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada de para entender a concavidade da função e confirmar os pontos de máximo ou mínimo.
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
    Como a segunda derivada é zero, não dá para concluir nada direto. Vamos olhar a primeira derivada ao redor de :
    Para , digamos :
    Para , digamos :
    A derivada não muda de sinal, então não é nem máximo nem mínimo.
  • Para :
    Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função para valores de indo para e .
  • Para :
    O termo de maior grau é , então tende a .
  • Para :
    O termo de maior grau é , e como é sempre positivo, também tende a .
Isso significa que a função desce para baixo nos extremos.

Passo 7

Vamos juntar todas as informações para esboçar o gráfico:
  • Interceptos: e .
  • Ponto de máximo: .
    Calculando :
    Então, o ponto de máximo é .
  • Comportamento:
    • A função sobe de até .
    • Depois, desce de até .
Com tudo isso, já dá para ter uma boa ideia de como o gráfico se parece!

Resposta

O gráfico de tem interceptos em e , um ponto de máximo em , e tende a tanto para quanto para . Com base nisso, o esboço do gráfico apresenta uma curva que sobe até o ponto e depois desce, interceptando o eixo x novamente em .

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