(1,0 ponto) Dada a função
, determine ou faça o que se pede: Um esboço completo do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa desenhar o gráfico completo dela. Para fazer isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de funções polinomiais, como interceptos, derivadas para achar máximos e mínimos, e até a concavidade da função. Tudo isso vai ajudar a gente a entender como o gráfico se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como
é um polinômio, o domínio é todo número real, ou seja,
.
Agora, vamos encontrar os interceptos:
-
Intercepto com o eixo y: é onde
. Então, o intercepto com o eixo y é. -
Interceptos com o eixo x: são os valores de
que tornam . Isso dá(de multiplicidade 3) e . Então, os interceptos com o eixo x são e .
Passo 3
Vamos verificar se a função é simétrica, ou seja, se é par, ímpar ou sem simetria específica.
Para isso, verificamos:
-
Função par:
? -
Função ímpar:
?
Então, a função não é nem par nem ímpar. Não tem simetria específica.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
para encontrar onde a função tem máximos e mínimos.
Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Isso dá
e
.
Para saber se são máximos ou mínimos, vamos analisar a derivada segunda.
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada de
para entender a concavidade da função e confirmar os pontos de máximo ou mínimo.
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
-
Para
: Como a segunda derivada é zero, não dá para concluir nada direto. Vamos olhar a primeira derivada ao redor de: Para, digamos : Para, digamos : A derivada não muda de sinal, entãonão é nem máximo nem mínimo. -
Para
: Como a segunda derivada é negativa,é um ponto de máximo.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função para valores de
indo para
e
.
-
Para
: O termo de maior grau é, então tende a . -
Para
: O termo de maior grau é, e como é sempre positivo, também tende a .
Isso significa que a função desce para baixo nos extremos.
Passo 7
Vamos juntar todas as informações para esboçar o gráfico:
-
Interceptos:
e . -
Ponto de máximo:
. Calculando: Então, o ponto de máximo é. -
Comportamento:
- A função sobe de
até . - Depois, desce de
até .
- A função sobe de
Com tudo isso, já dá para ter uma boa ideia de como o gráfico se parece!
Resposta
O gráfico de
tem interceptos em
e
, um ponto de máximo em
, e tende a
tanto para
quanto para
. Com base nisso, o esboço do gráfico apresenta uma curva que sobe até o ponto
e depois desce, interceptando o eixo x novamente em
.
Exercícios relacionados
(1,0 ponto) Dada a equação
, encontre
por diferenciação implícita.
Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo
e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
( 2,0 pontos) Calcule a derivada da função dada:
(1,0 ponto) Resolva a integral
.