(1,0 ponto) Dada a equação
, encontre
por diferenciação implícita.
Passo 1
Vamos resolver o problema que nos pede para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando diferenciação implícita, a partir da equação dada:
A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a técnica de diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando
está definido de forma implícita em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Aplicaremos as regras de derivação a cada termo:
Passo 3
Agora, calculamos cada derivada separadamente:
-
A derivada de
em relação a é , porque usamos a regra do poder: . -
Para
, como é uma função de , aplicamos a regra da cadeia:
- Na derivada de
, usamos a regra do produto, já que temos dois termos multiplicando: e :
- A derivada de uma constante, como 13, é zero:
Passo 4
Substituindo as derivadas encontradas na equação original diferenciada:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
. Primeiro, vamos expandir os termos:
Passo 6
Vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 7
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo
e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
( 2,0 pontos) Calcule a derivada da função dada:
(1,0 ponto) Dada a função
, determine ou faça o que se pede: Um esboço completo do gráfico de
.
( 2,0 pontos) Calcule a derivada da função dada: