(1,0 ponto) Dada a equação x^3 + y^3 - 12 x y = 13, encontre d/y d/x por diferenciação implícita.

Passo 1

Vamos resolver o problema que nos pede para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando diferenciação implícita, a partir da equação dada:
A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a técnica de diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando está definido de forma implícita em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Aplicaremos as regras de derivação a cada termo:

Passo 3

Agora, calculamos cada derivada separadamente:
  1. A derivada de em relação a é , porque usamos a regra do poder: .
  2. Para , como é uma função de , aplicamos a regra da cadeia:
  1. Na derivada de , usamos a regra do produto, já que temos dois termos multiplicando: e :
  1. A derivada de uma constante, como 13, é zero:

Passo 4

Substituindo as derivadas encontradas na equação original diferenciada:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para . Primeiro, vamos expandir os termos:

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm e os que não contêm:

Passo 7

Fatorando do lado esquerdo:

Passo 8

Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

A derivada é:

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