A diferença entre dois números é 20. Determine os números de modo que o produto seja o menor possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que a diferença entre dois números é 20 e queremos encontrar esses números de modo que o produto deles seja o menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente sobre funções quadráticas e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de e . Sabemos que a diferença entre eles é 20, então podemos escrever essa relação como:
Isso nos ajuda a ligar os dois números em uma equação.

Passo 3

Queremos encontrar o produto desses números, que é dado por:
Nosso objetivo é minimizar esse produto .

Passo 4

Vamos expressar em termos de usando a primeira equação:
Agora, substituímos isso na expressão do produto:

Passo 5

Agora temos uma função quadrática . Para encontrar o valor mínimo dessa função, precisamos achar o vértice da parábola que representa essa equação. A fórmula para encontrar a coordenada do vértice é:
onde e .

Passo 6

Substituindo os valores de e :
Então, o valor de que minimiza o produto é 10.

Passo 7

Agora, vamos encontrar usando a relação :

Resposta

Os números são e , e o produto mínimo é .

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Estude a concavidade e encontre, caso existam, os pontos de inflexão de:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Mostre que para qualquer , a reta tangente ao gráfico de não intercepta esta curva com exceção do ponto de tangência .
Encontre um ponto do gráfico de , de modo que a reta tangente ao gráfico de , nesse ponto, tenha coeficiente angular máximo.
Verifique as condições do Teorema de Rolle e determine os valores que correspondem à conclusão do teorema nos seguintes casos:
(a) , no intervalo .
(b) , no intervalo
© , no intervalo