A diferença entre dois números é 20. Determine os números de modo que o produto seja o menor possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que a diferença entre dois números é 20 e queremos encontrar esses números de modo que o produto deles seja o menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente sobre funções quadráticas e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de
e
. Sabemos que a diferença entre eles é 20, então podemos escrever essa relação como:
Isso nos ajuda a ligar os dois números em uma equação.
Passo 3
Queremos encontrar o produto desses números, que é dado por:
Nosso objetivo é minimizar esse produto
.
Passo 4
Vamos expressar
em termos de
usando a primeira equação:
Agora, substituímos isso na expressão do produto:
Passo 5
Agora temos uma função quadrática
. Para encontrar o valor mínimo dessa função, precisamos achar o vértice da parábola que representa essa equação. A fórmula para encontrar a coordenada
do vértice é:
onde
e
.
Passo 6
Substituindo os valores de
e
:
Então, o valor de
que minimiza o produto é 10.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
usando a relação
:
Resposta
Os números são
e
, e o produto mínimo é
.