A diferença entre dois números é 20. Determine os números de modo que o produto seja o menor possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que a diferença entre dois números é 20 e queremos encontrar esses números de modo que o produto deles seja o menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente sobre funções quadráticas e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de
e
. Sabemos que a diferença entre eles é 20, então podemos escrever essa relação como:
Isso nos ajuda a ligar os dois números em uma equação.
Passo 3
Queremos encontrar o produto desses números, que é dado por:
Nosso objetivo é minimizar esse produto
.
Passo 4
Vamos expressar
em termos de
usando a primeira equação:
Agora, substituímos isso na expressão do produto:
Passo 5
Agora temos uma função quadrática
. Para encontrar o valor mínimo dessa função, precisamos achar o vértice da parábola que representa essa equação. A fórmula para encontrar a coordenada
do vértice é:
onde
e
.
Passo 6
Substituindo os valores de
e
:
Então, o valor de
que minimiza o produto é 10.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
usando a relação
:
Resposta
Os números são
e
, e o produto mínimo é
.
Exercícios relacionados
Estude a concavidade e encontre, caso existam, os pontos de inflexão de:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Mostre que para qualquer
, a reta tangente ao gráfico de
não intercepta esta curva com exceção do ponto de tangência
.
Encontre um ponto do gráfico de
, de modo que a reta tangente ao gráfico de
, nesse ponto, tenha coeficiente angular máximo.
Verifique as condições do Teorema de Rolle e determine os valores
que correspondem à conclusão do teorema nos seguintes casos:
(a) , no intervalo
.
(b) , no intervalo
© , no intervalo
(a)
(b)
©