A diferença de pressão no escoamento de sangue através de um bloqueio parcial numa artéria
, pode ser avaliada com a equação:
Em que, V é a velocidade média do escoamento de sangue,
é a viscosidade dinâmica do sangue, D é o diâmetro da artéria,
é a área da sessão transversal da artéria desobstruída,
é a área da sessão transversal da região obstruída da artéria. Determine as dimensões no sistema MLT e SI das constantes
e
. Essa equação apresenta homogeneidade dimensional?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a diferença de pressão no fluxo sanguíneo quando há um bloqueio parcial numa artéria. A gente vai usar uma equação que relaciona várias grandezas como velocidade do sangue, viscosidade, diâmetro da artéria, áreas das seções transversal desobstruída e obstruída, e densidade. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são as dimensões das constantes
e
tanto no sistema MLT (Mass, Length, Time) quanto no SI (Sistema Internacional), e verificar se a equação é dimensionalmente homogênea. Para isso, vamos precisar entender um pouco de dimensões físicas e como elas se relacionam nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação é dimensionalmente homogênea se todas as suas partes têm as mesmas dimensões. Isso quer dizer que cada termo da equação deve ter as mesmas unidades físicas. Então, vamos analisar os termos da nossa equação:
Aqui,
é a diferença de pressão,
é a viscosidade dinâmica,
é a velocidade,
é o diâmetro da artéria,
e
são áreas das seções transversais, e
é a densidade.
Passo 3
Vamos identificar as dimensões de cada uma dessas grandezas no sistema MLT:
- Pressão (
): [M][L]⁻¹[T]⁻² - Viscosidade dinâmica (
): [M][L]⁻¹[T]⁻¹ - Velocidade (
): [L][T]⁻¹ - Diâmetro (
): [L] - Área (
): [L]² - Densidade (
): [M][L]⁻³
Passo 4
Agora, vamos analisar o primeiro termo da equação:
.
Substituindo pelas dimensões, temos:
Esse termo deve ter a mesma dimensão que
, ou seja, [M][L]⁻¹[T]⁻². Portanto:
Dividindo ambos os lados por [M][L]⁻¹[T]⁻¹, temos:
Então, a dimensão de
no sistema MLT é [T]⁻¹.
Passo 5
Agora vamos para o segundo termo:
.
Primeiro, note que
é uma razão de áreas, então é adimensional. Subtraindo 1 continua sendo adimensional, e ao quadrado, também permanece adimensional. Então, a dimensão desse termo fica:
Novamente, isso deve ser igual a [M][L]⁻¹[T]⁻². Portanto:
Dividindo ambos os lados por [M][L]⁻¹[T]⁻², temos:
Então,
é adimensional, ou seja, não tem dimensão.
Passo 6
Resumindo as dimensões no sistema MLT:
-
: [T]⁻¹ -
: adimensional
Convertendo para o sistema SI:
-
tem dimensão de 1/tempo, então suas unidades são [s]⁻¹. -
é adimensional, não tem unidades.
Passo 7
Finalmente, verificamos a homogeneidade dimensional da equação. Como ambos os termos do lado direito têm a mesma dimensão que a diferença de pressão no lado esquerdo, a equação é dimensionalmente homogênea.
Resposta
As dimensões das constantes são:
-
: [T]⁻¹ no sistema MLT e [s]⁻¹ no SI. -
: adimensional em ambos os sistemas.
Além disso, a equação apresentada é dimensionalmente homogênea.
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Se
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(a) .
(b) .
©
(a)
(b)
©
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e
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