O lago formado pela construção da barragem de Tucurui cobriu uma vasta região onde existiam muitas árvores nobres. No entanto, não houve muito tempo para remover todas essas árvores antes do início da formação do lago. 15 anos mais tarde foi observado que a madeira ainda estavam em bom estado de conservação. E pessoas iniciaram uma operação para removê-las. O primeiro passo consiste em fixá-las ao fundo por meio de âncoras e cabos. O segundo passo consiste em cortar o tronco das raízes. A ancoragem é necessária para evitar que o tronco das árvores cheguem com muita velocidade na superfície. Assuma que uma árvore grande tenha 30 m de altura e possa ser modelada com um tronco que cone, com diâmetros superior e inferior iguais a 2,4 e 0,6 m. Determine o módulo da componente vertical resultante que os cabos devem resistir quando a árvore for cortada e ainda está completamente submersa. Admita que a densidade da madeira é igual a 0,6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos uma árvore grande que está totalmente submersa no lago criado pela barragem de Tucurui. Precisamos descobrir qual é a força vertical que os cabos precisam suportar para manter a árvore no fundo quando ela é cortada. Para isso, vamos utilizar conceitos de física relacionados à Força de Empuxo e ao Volume de um Cone. Vamos precisar calcular o empuxo que age sobre a árvore para saber qual a força que os cabos devem resistir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o formato da árvore. A árvore é modelada como um cone com diâmetro na base de 2,4 metros e diâmetro no topo de 0,6 metros. A altura da árvore é de 30 metros. Mas para calcular o volume do cone, precisamos apenas do raio da base.
O raio da base ® é metade do diâmetro:
r = 2,4, m2 = 1,2, m

Passo 3

Agora, vamos calcular o Volume do Cone usando a fórmula:
V = 13 pi r^2 h
onde:
  • V = 13 pi (1,2)^2 times 30 é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura.
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular o volume numericamente:
(1,2)^2 = 1,44, m^2
V = 13 pi times 1,44, m^2 times 30, m
V = 13 times 3,1416 times 1,44 times 30
V = 13 times 3,1416 times 43,2
V = 1,0472 times 43,2
V approx 45,27, m^3

Passo 5

Agora que temos o volume da árvore, vamos calcular a Força de Empuxo que atua sobre ela. A fórmula para o empuxo é:
Fe = rhoágua times g times V á
onde:
  • Fe = 1000, kg/m^3 times 9,81, m/s^2 times 45,27, m^3 é o empuxo,
  • á é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é o volume submerso.

Passo 6

Calculando o empuxo:
Fe = 1000 times 9,81 times 45,27
Fe = 9,81 times 45,27 times 10^3
Fe approx 444,459 times 10^3, N
Fe approx 444.459, kN

Passo 7

Mas espera! A densidade da madeira é 0,6, o que significa que a árvore tem densidade P = m times g = rhomadeira times V times g . A força de empuxo precisa superar o peso da árvore para que ela flutue. Vamos calcular o peso da árvore:
P = 600, kg/m^3 times 45,27, m^3 times 9,81, m/s^2
P = 600 times 45,27 times 9,81
P approx 266.669, N

Passo 8

A força que os cabos precisam resistir é a diferença entre o empuxo e o peso da árvore, já que o empuxo tenta empurrar a árvore para cima e os cabos precisam segurar essa força adicional.
Fcabos = Fe - P
Fcabos = 444.459, kN - 266,669, kN
Fcabos approx 177,790, kN

Resposta

O módulo da componente vertical que os cabos devem resistir é aproximadamente 177,79 kN.

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