partial^2 upartial t^2=c^2(partial^2 upartial x^2+1r partial^2 upartial r^2++1r^2 partial^2 upartial theta^2), 00
com as seguintes condições de contorno e inicial
& u(a, theta, t)=0, t>0, & u(r, theta, 0)=f(r, theta), partial u(r, theta, 0)partial t=g(r, theta), 0
Note que theta é um ângulo polar, (r, theta) e (r, theta+2 pi) representa o mesmo ponto, e portanto u(r, theta, t)= (r, theta+2 pi, t). Em outras palavras, u tem período 2 pi em theta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. Temos uma equação de onda em coordenadas polares, que descreve como uma onda se propaga em um meio circular. A equação é:
partial^2 upartial t^2 = c^2(partial^2 upartial x^2 + 1r partial^2 upartial r^2 + 1r^2 partial^2 upartial theta^2)
com as condições de contorno e iniciais dadas. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e entender um pouco sobre funções de Bessel, que aparecem quando trabalhamos com coordenadas polares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução u(r, theta, t) = R(r) Theta(theta) T(t) pode ser escrita como o produto de três funções, cada uma dependendo de uma das variáveis separadamente:
Essa é a ideia de separação de variáveis, onde tentamos separar a equação original em partes que dependem apenas de , e .

Passo 3

Agora, vamos substituir R Theta T'' = c^2 ( R'' Theta T + R' Theta Tr + R Theta'' Tr^2 ) na equação de onda:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo, a segunda derivada de em relação a , e a segunda derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos reorganizar a equação dividindo ambos os lados por T''c^2 T = R''R + R'r R + Theta''r^2 Theta :
Observamos que o lado esquerdo depende apenas de , enquanto o lado direito depende apenas de e . Para que isso seja verdade para todos os , e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de .

Passo 5

Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para o tempo:
T''c^2 T = -omega^2 Rightarrow T'' + c^2 omega^2 T = 0
  1. Para o espaço:
R''R + R'r R + Theta''r^2 Theta = -omega^2

Passo 6

Vamos focar na parte espacial agora. Reorganizando, temos:
r^2 R''R + r R'R + Theta''Theta = -omega^2 r^2
Como R''R + R'r R + Theta''r^2 Theta = -omega^2 depende apenas de Theta''Theta = -m^2 , vamos dividir por :
Para separar e , assumimos que:
onde é uma constante de separação.

Passo 7

Com isso, a equação para Theta'' + m^2 Theta = 0 se torna:
Theta(theta) = A cos(mtheta) + B sin(mtheta)
Essa é uma equação diferencial ordinária típica cuja solução é:
Como é periódica em com período , deve ser inteiro:

Passo 8

Voltando à equação para R'' + R'r + ( omega^2 - m^2r^2 ) R = 0 , temos:
R(r) = C Jm(omega r)
Essa é a Equação de Bessel de ordem . As soluções são as funções de Bessel de primeira espécie e de segunda espécie . Como queremos que a solução seja finita em , descartamos e ficamos com:

Passo 9

Agora, combinando um(r, theta, t) = [ C cos(mtheta) + D sin(mtheta) ] Jm(omega r) [ E cos(comega t) + F sin(comega t) ] , e , a solução geral para um modo específico é:
Podemos simplificar os coeficientes combinando as constantes, mas a ideia principal é que cada modo é uma combinação desses termos.

Passo 10

Considerando as condições de contorno Jm(omega a) = 0 , isso implica que:
Ou seja, deve ser uma raiz da função de Bessel . Vamos chamar essas raízes de , onde indica a n-ésima raiz para a ordem .

Passo 11

Então, as frequências permitidas são:
omegamn = alphamna
E as soluções autônomas ficam:
umn(r, theta, t) = [ Amn cos(mtheta) + Bmn sin(mtheta) ] Jm(alphamn ra) cos(calphamn ta) + [ Cmn cos(mtheta) + Dmn sin(mtheta) ] Jm(alphamn ra) sin(calphamn ta)

Passo 12

Para satisfazer as condições iniciais f(r, theta) = summ=0^infty [ Amn cos(mtheta) + Bmn sin(mtheta) ] Jm(alphamn ra) e g(r, theta) = summ=0^infty [ Cmn cos(mtheta) + Dmn sin(mtheta) ] Jm(alphamn ra) , expandimos e em série de Fourier em e em funções de Bessel em :
Os coeficientes , , e são determinados pelas condições iniciais específicas usando ortogonalidade das funções de Bessel e das funções trigonométricas.

Resposta

A solução geral da equação de onda dada, satisfazendo as condições de contorno e iniciais, é uma soma infinita de modos vibracionais:
u(r, theta, t) = summ=0^infty sumn=1^infty [ ( Amn cos(mtheta) + Bmn sin(mtheta) ) Jm(alphamn ra) cos(calphamn ta) + ( Cmn cos(mtheta) + Dmn sin(mtheta) ) Jm(alphamn ra) sin(calphamn ta) )
onde são as funções de Bessel de primeira espécie de ordem , são as raízes de , e os coeficientes , , e são determinados pelas condições iniciais e .

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