com as seguintes condições de contorno e inicial
Note que
é um ângulo polar,
e
representa o mesmo ponto, e portanto
. Em outras palavras,
tem período
em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. Temos uma equação de onda em coordenadas polares, que descreve como uma onda se propaga em um meio circular. A equação é:
com as condições de contorno e iniciais dadas. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e entender um pouco sobre funções de Bessel, que aparecem quando trabalhamos com coordenadas polares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de três funções, cada uma dependendo de uma das variáveis separadamente:
Essa é a ideia de separação de variáveis, onde tentamos separar a equação original em partes que dependem apenas de
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação de onda:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo,
a segunda derivada de
em relação a
, e
a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação dividindo ambos os lados por
:
Observamos que o lado esquerdo depende apenas de
, enquanto o lado direito depende apenas de
e
. Para que isso seja verdade para todos os
,
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de
.
Passo 5
Isso nos dá duas equações separadas:
- Para o tempo:
- Para o espaço:
Passo 6
Vamos focar na parte espacial agora. Reorganizando, temos:
Como
depende apenas de
, vamos dividir por
:
Para separar
e
, assumimos que:
onde
é uma constante de separação.
Passo 7
Com isso, a equação para
se torna:
Essa é uma equação diferencial ordinária típica cuja solução é:
Como
é periódica em
com período
,
deve ser inteiro:
Passo 8
Voltando à equação para
, temos:
Essa é a Equação de Bessel de ordem
. As soluções são as funções de Bessel de primeira espécie
e de segunda espécie
. Como queremos que a solução seja finita em
, descartamos
e ficamos com:
Passo 9
Agora, combinando
,
e
, a solução geral para um modo específico é:
Podemos simplificar os coeficientes combinando as constantes, mas a ideia principal é que cada modo é uma combinação desses termos.
Passo 10
Considerando as condições de contorno
, isso implica que:
Ou seja,
deve ser uma raiz da função de Bessel
. Vamos chamar essas raízes de
, onde
indica a n-ésima raiz para a ordem
.
Passo 11
Então, as frequências permitidas são:
E as soluções autônomas ficam:
Passo 12
Para satisfazer as condições iniciais
e
, expandimos
e
em série de Fourier em
e em funções de Bessel em
:
Os coeficientes
,
,
e
são determinados pelas condições iniciais específicas usando ortogonalidade das funções de Bessel e das funções trigonométricas.
Resposta
A solução geral da equação de onda dada, satisfazendo as condições de contorno e iniciais, é uma soma infinita de modos vibracionais:
onde
são as funções de Bessel de primeira espécie de ordem
,
são as raízes de
, e os coeficientes
,
,
e
são determinados pelas condições iniciais
e
.