Diferencial: Seja f(x) uma função. A diferencial de f é definida como df = f'(x) dx.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre diferencial de uma função, que é um conceito da matemática, mais especificamente do cálculo diferencial. Para entender e resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma derivada e como ela está relacionada com diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função f(x), denotada por , representa a taxa de variação da função em relação a x. Ou seja, ela nos diz como a função muda quando x muda.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a diferencial. A diferencial de uma função f(x) é definida como o produto da derivada de f em x ( ) pelo diferencial de x ( ). Matemáticamente, fica assim:
Isso basicamente liga a mudança na função ( ) com a mudança na variável x ( ).

Passo 4

Para entender melhor, vamos usar um exemplo. Suponha que temos a função f(x) = x^2. Primeiro, encontramos a derivada:
Então, a diferencial será:
Isso significa que, para uma pequena mudança em x (representada por ), a mudança correspondente em f(x) �� .

Passo 5

Esse conceito de diferencial é muito útil em várias áreas da matemática e da física, especialmente quando queremos aproximar mudanças em funções devido a pequenas variações em suas variáveis. É uma ferramenta poderosa para fazer aproximações lineares.

Resposta

A diferencial de uma função f(x) é definida por , relacionando a taxa de variação da função com uma pequena mudança na variável x.

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