Diferencial: Seja
uma função. A diferencial de
é definida como
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre diferencial de uma função, que é um conceito da matemática, mais especificamente do cálculo diferencial. Para entender e resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma derivada e como ela está relacionada com diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função
, denotada por
, representa a taxa de variação da função em relação a
. Ou seja, ela nos diz como a função muda quando
muda.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a diferencial. A diferencial
de uma função
é definida como o produto da derivada de
em
(
) pelo diferencial de
(
). Matemáticamente, fica assim:
Isso basicamente liga a mudança na função (
) com a mudança na variável
(
).
Passo 4
Para entender melhor, vamos usar um exemplo. Suponha que temos a função
. Primeiro, encontramos a derivada:
Então, a diferencial
será:
Isso significa que, para uma pequena mudança em
(representada por
), a mudança correspondente em
��
.
Passo 5
Esse conceito de diferencial é muito útil em várias áreas da matemática e da física, especialmente quando queremos aproximar mudanças em funções devido a pequenas variações em suas variáveis. É uma ferramenta poderosa para fazer aproximações lineares.
Resposta
A diferencial de uma função
é definida por
, relacionando a taxa de variação da função com uma pequena mudança na variável
.
Exercícios relacionados
Revisão da aula anterior: Integrais imediatas.
Descreva o que ocorre com os valores de
quando
se aproxima de 2, primeiramente pela direita e, em seguida, pela esquerda.
Exemplo: Calcule a diferencial das funções: (a)
(b)
Exemplo: Calcule a integral indefinida
.