Exemplo: Calcule a diferencial das funções: (a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a diferencial de duas funções diferentes. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do tópico de diferenciação. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções polinomiais e funções que envolvem raízes quadradas. Vamos em frente!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
.
Primeiro, precisamos lembrar que a diferencial de uma função
é dada por
, onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
da função
.
Usamos a regra básica de derivação para polinômios:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante é 0.
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, escrevemos a diferencial
usando a derivada que encontramos:
Passo 5
Vamos para a parte (b):
.
Primeiro, escrevemos a função de uma maneira que facilite a derivação:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada
dessa função. Usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta.
A regra da cadeia diz que se
, então:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 7
Finalmente, escrevemos a diferencial
:
Resposta
(a) A diferencial de
é:
(b) A diferencial de
é:
Exercícios relacionados
Diferencial: Seja
uma função. A diferencial de
é definida como
.
Revisão da aula anterior: Integrais imediatas.
Exemplo: Calcule a integral indefinida
.
Resolva: Sabendo-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva
para cada valor de
é
e que o gráfico da função passa pelo ponto
, determine a expressão da função
.