Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
, calcule dy/dx
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos duas funções:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos utilizar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Também precisaremos saber derivar potências de
usando a regra do poder.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
-
é uma função de , e é uma função de . - Isso significa que
é uma função composta de .
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular
.
Temos
.
Usando a regra do poder, que diz que
, onde
é uma constante.
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Temos
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é, usando a regra do poder, . - A derivada de uma constante (1) é 0.
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Por fim, substituímos
pela sua expressão em termos de
:
Então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: