Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação. y = u^(-5), u = x^4 + 1, calcule dy/dx

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos duas funções:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .
Para resolver isso, vamos utilizar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Também precisaremos saber derivar potências de usando a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
  • é uma função de , e é uma função de .
  • Isso significa que é uma função composta de .
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular .
Temos .
Usando a regra do poder, que diz que , onde é uma constante.
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular .
Temos .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é, usando a regra do poder, .
  • A derivada de uma constante (1) é 0.
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Por fim, substituímos pela sua expressão em termos de :
Então:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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