Um tanque com capacidade de 400 L está cheio com uma mistura de água e cloro com concentração de de cloro por litro. Para poder reduzir a concentração de cloro, água doce é bombeada para o tanque na taxa de . A mistura é agitada e bombeada para fora em uma taxa de . Qual a quantidade de cloro no tanque após 3 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo: temos um tanque de 400 litros cheio de uma mistura de água e cloro com concentração de 0,05 g de cloro por litro. A gente vai adicionar água pura ao tanque a uma taxa de 10 litros por segundo e ao mesmo tempo retirar a mistura a 4 litros por segundo. Queremos saber quanto de cloro vai ter no tanque depois de 3 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável que queremos encontrar. Seja a quantidade de cloro no tanque no tempo (em segundos). A concentração de cloro no tanque inicialmente é de 0,05 g/L em 400 litros, então a quantidade inicial é:

Passo 3

Agora, vamos analisar as taxas de entrada e saída. A água pura que entra não adiciona cloro, então a taxa de entrada de cloro é 0 g/s. A mistura que sai tem a mesma concentração de cloro que o tanque:
í
onde é o volume no tanque no tempo .

Passo 4

Precisamos saber como o volume muda com o tempo. A água entra a 10 L/s e sai a 4 L/s, então a taxa de variação do volume é:
Integrando isso, temos:

Passo 5

Voltando à taxa de variação de , temos a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 6

Reescrevendo a equação diferencial:
O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução geral é:

Passo 8

Queremos a quantidade de cloro após 3 minutos, que são 180 segundos:
Calculando os valores:

Resposta

Após 3 minutos, a quantidade de cloro no tanque é aproximadamente .

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