Um modelo para a propagação de uma epidemia é que a taxa de propagação é proporcional ao número de pessoas infectadas e ao número de pessoas não infectadas. Em uma cidade isolada de 6000 habitantes, 180 pessoas têm uma doença no começo da semana e 1000, no fim da semana. Quanto tempo levará para
da população se contaminar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma doença se espalha numa cidade. A ideia é que a taxa de propagação da doença depende tanto do número de pessoas já infectadas quanto das que ainda não estão infectadas. A gente vai precisar entender um pouquinho de equações diferenciais para resolver isso. No começo, temos 180 pessoas doentes e, no final da semana, 1000 pessoas estão doentes. A pergunta é: quanto tempo vai levar para 70% da população, que são 4200 pessoas, se contaginarem?
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que foi dito em uma equação matemática. A taxa de propagação é proporcional ao número de infectados multiplicado pelo número de não infectados. Isso fica assim:
Aqui,
é o número de infectados,
é a população total (6000 habitantes) e
é a constante de proporcionalidade que vamos descobrir.
Passo 3
Essa equação é uma equação diferencial conhecida como equação logística. A solução geral dela é:
Onde
é uma constante que vamos encontrar usando as condições iniciais do problema.
Passo 4
Vamos usar as informações que temos para encontrar
e
.
- No início (
), . - No final da semana (
), .
Primeiro, aplicamos
:
Resolvendo para
:
Agora, aplicamos
:
Resolvendo isso para
, vamos simplificar:
Calculando o valor:
Passo 5
Agora que temos
e
, queremos encontrar o tempo
para que 70% da população esteja infectada, ou seja,
.
Usamos a solução da equação logística:
Resolvendo para
:
Calculando o valor:
Resposta
Levará aproximadamente 2,26 semanas para que 70% da população se contamine.