Um modelo para a propagação de uma epidemia é que a taxa de propagação é proporcional ao número de pessoas infectadas e ao número de pessoas não infectadas. Em uma cidade isolada de 6000 habitantes, 180 pessoas têm uma doença no começo da semana e 1000, no fim da semana. Quanto tempo levará para 70% da população se contaminar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma doença se espalha numa cidade. A ideia é que a taxa de propagação da doença depende tanto do número de pessoas já infectadas quanto das que ainda não estão infectadas. A gente vai precisar entender um pouquinho de equações diferenciais para resolver isso. No começo, temos 180 pessoas doentes e, no final da semana, 1000 pessoas estão doentes. A pergunta é: quanto tempo vai levar para 70% da população, que são 4200 pessoas, se contaginarem?

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que foi dito em uma equação matemática. A taxa de propagação é proporcional ao número de infectados multiplicado pelo número de não infectados. Isso fica assim:
Aqui, é o número de infectados, é a população total (6000 habitantes) e é a constante de proporcionalidade que vamos descobrir.

Passo 3

Essa equação é uma equação diferencial conhecida como equação logística. A solução geral dela é:
Onde é uma constante que vamos encontrar usando as condições iniciais do problema.

Passo 4

Vamos usar as informações que temos para encontrar e .
  • No início ( ), .
  • No final da semana ( ), .
Primeiro, aplicamos :
Resolvendo para :
Agora, aplicamos :
Resolvendo isso para , vamos simplificar:
Calculando o valor:

Passo 5

Agora que temos e , queremos encontrar o tempo para que 70% da população esteja infectada, ou seja, .
Usamos a solução da equação logística:
Resolvendo para :
Calculando o valor:

Resposta

Levará aproximadamente 2,26 semanas para que 70% da população se contamine.

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