Seja
o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento
. O gráfico de
é chamado curva de aprendizagem. A equação diferencial
pode ser usada como um modelo razoável para a aprendizagem, onde
é uma constante positiva. Suponha agora que João foi contratado para uma linha de montagem, processando 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda. Usando o modelo dado a cima e assumindo que
, estime o número máximo de unidades por hora que João é capaz de processar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a curva de aprendizagem de alguém que está treinando para melhorar seu desempenho. A gente tem uma equação diferencial que modela isso:
Aqui,
é o desempenho no tempo
,
é uma constante positiva, e
é o desempenho máximo que essa pessoa pode alcançar. Nosso objetivo é descobrir qual é esse valor máximo
usando os dados fornecidos sobre o desempenho de João nas primeiras duas horas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para encontrar uma expressão para
. A equação é do tipo linear e pode ser resolvida usando métodos de integração. A solução geral dessa equação é:
Onde
é o desempenho inicial. No nosso caso, sabemos que
, então substituindo:
Passo 3
Agora que temos a expressão para
, podemos usar os dados que temos para encontrar
e
. Sabemos que:
- Na primeira hora (
), João processou 25 unidades: - Na segunda hora (
), ele processou 45 unidades:
Vamos substituir esses valores na equação para criar duas equações e resolver o sistema.
Passo 4
Substituindo
e
:
Substituindo
e
:
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema.
Passo 5
Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Resolvendo essa equação para
:
Vamos chamar
, então
. Substituindo:
Então:
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a primeira equação:
Resposta
João consegue processar no máximo 125 unidades por hora.
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da população se contaminar?
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
, calcule dy/dx
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
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