Seja o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento . O gráfico de é chamado curva de aprendizagem. A equação diferencial
pode ser usada como um modelo razoável para a aprendizagem, onde é uma constante positiva. Suponha agora que João foi contratado para uma linha de montagem, processando 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda. Usando o modelo dado a cima e assumindo que , estime o número máximo de unidades por hora que João é capaz de processar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a curva de aprendizagem de alguém que está treinando para melhorar seu desempenho. A gente tem uma equação diferencial que modela isso:
Aqui, é o desempenho no tempo , é uma constante positiva, e é o desempenho máximo que essa pessoa pode alcançar. Nosso objetivo é descobrir qual é esse valor máximo usando os dados fornecidos sobre o desempenho de João nas primeiras duas horas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para encontrar uma expressão para . A equação é do tipo linear e pode ser resolvida usando métodos de integração. A solução geral dessa equação é:
Onde é o desempenho inicial. No nosso caso, sabemos que , então substituindo:

Passo 3

Agora que temos a expressão para , podemos usar os dados que temos para encontrar e . Sabemos que:
  • Na primeira hora ( ), João processou 25 unidades:
  • Na segunda hora ( ), ele processou 45 unidades:
Vamos substituir esses valores na equação para criar duas equações e resolver o sistema.

Passo 4

Substituindo e :
Substituindo e :
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema.

Passo 5

Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar :
Resolvendo essa equação para :
Vamos chamar , então . Substituindo:
Então:
Agora que temos , podemos encontrar usando a primeira equação:

Resposta

João consegue processar no máximo 125 unidades por hora.

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Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação. , calcule dy/dx
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