Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação. f(x) = ((3*x + 1) / (x^2))^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para diferenciar a função usando as regras básicas de diferenciação. Isso envolve aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar lembrar como usar essas regras para resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função composta. A função externa é e a função interna é . Para aplicar a regra da cadeia, vamos derivar a função externa em relação a e depois multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos diferenciar a função externa em relação a . A derivada de é:

Passo 4

Agora, precisamos derivar a função interna . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular e :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo e :

Passo 8

Podemos deixar a resposta assim ou simplificar um pouco mais. Vamos multiplicar os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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