Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação. y = raiz(u), u = x^2 + x + 1, calcule dy/dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , onde . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar as regras básicas de diferenciação, especialmente a regra da cadeia, que é ótima para funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Quando a gente tem uma função dentro de outra, tipo onde depende de , a regra da cadeia nos ajuda a encontrar a derivada dessa composição. Basicamente, a gente deriva a função de fora multiplicando pela derivada da função de dentro.

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a . Sabemos que é o mesmo que . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Temos que . Derivando termo a termo:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é o produto de e :

Passo 6

Por fim, podemos simplificar a expressão substituindo de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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