Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(d) e^z / (z^2 + 3)

Passo 1

Vamos resolver a questão de diferenciar a função . O conteúdo envolve diferenciação de funções complexas e análise de regiões onde a função é analítica. Para isso, precisaremos aplicar a regra do quociente para derivadas e entender onde a função está bem definida, ou seja, onde ela é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra do quociente para derivar a função . A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Podemos simplificar a expressão fatorando :

Passo 6

Agora, vamos determinar a região onde a função é analítica. Uma função é analítica em uma região onde ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. Para , isso significa que o denominador não pode ser zero, pois isso causaria uma descontinuidade.
Resolvendo :
Portanto, a função não é analítica nos pontos e .

Resposta

A derivada da função é:
A função é analítica em todo o plano complexo, exceto nos pontos e , onde o denominador se anula.

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