Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resolver a questão de diferenciar a função
. O conteúdo envolve diferenciação de funções complexas e análise de regiões onde a função é analítica. Para isso, precisaremos aplicar a regra do quociente para derivadas e entender onde a função está bem definida, ou seja, onde ela é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra do quociente para derivar a função
. A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão fatorando
:
Passo 6
Agora, vamos determinar a região onde a função é analítica. Uma função é analítica em uma região onde ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. Para
, isso significa que o denominador não pode ser zero, pois isso causaria uma descontinuidade.
Resolvendo
:
Portanto, a função não é analítica nos pontos
e
.
Resposta
A derivada da função é:
A função é analítica em todo o plano complexo, exceto nos pontos
e
, onde o denominador se anula.