Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma .
(f)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o valor da função hiperbólica cosseno de um número complexo, especificamente , e expressar o resultado na forma , onde e são números reais. Para resolver isso, vamos utilizar a definição da função cosseno hiperbólico para números complexos e aplicar propriedades de exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da função cosseno hiperbólico para um número complexo :
Aqui, representa a função exponencial para números complexos.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, onde , temos:

Passo 4

Vamos calcular e separadamente usando a fórmula da exponencial de números complexos:
Aplicando isso:

Passo 5

Simplificando as expressões trigonométricas, lembrando que e :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da :

Passo 7

Distribuindo os termos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:

Passo 8

Fatorando e :

Passo 9

Sabendo que e , substituímos:

Passo 10

Podemos deixar a expressão assim ou calcular os valores numéricos de e , caso seja solicitado. Porém, a forma atual já está na forma requerida.

Resposta

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Construa o gráfico das funções, considerando :
Dada as funções:

  1. II.
    Indique:
    As coordenadas do vértice e o ponto de máximo ou mínimo.
Dada as funções:

  1. II.
    Indique:
    Raizes ou zeros da função
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(d)