Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
(f)
(f)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o valor da função hiperbólica cosseno de um número complexo, especificamente
, e expressar o resultado na forma
, onde
e
são números reais. Para resolver isso, vamos utilizar a definição da função cosseno hiperbólico para números complexos e aplicar propriedades de exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da função cosseno hiperbólico para um número complexo
:
Aqui,
representa a função exponencial para números complexos.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso, onde
, temos:
Passo 4
Vamos calcular
e
separadamente usando a fórmula da exponencial de números complexos:
Aplicando isso:
Passo 5
Simplificando as expressões trigonométricas, lembrando que
e
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da
:
Passo 7
Distribuindo os termos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Passo 8
Fatorando
e
:
Passo 9
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 10
Podemos deixar a expressão assim ou calcular os valores numéricos de
e
, caso seja solicitado. Porém, a forma atual já está na forma
requerida.
Resposta
Exercícios relacionados
Construa o gráfico das funções, considerando
:
Dada as funções:
-
II.
Indique:
As coordenadas do vértice e o ponto de máximo ou mínimo.
Dada as funções:
-
II.
Indique:
Raizes ou zeros da função
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(d)
(d)