Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique por quê.
Se então .
Passo 1
Vamos entender a questão: se o determinante da matriz é 1, será que a inversa de é igual a mesma? Para resolver isso, vamos precisar saber sobre determinantes e matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, o determinante de uma matriz, representado por , nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Se , então a matriz é invertível, ou seja, existe uma matriz que satisfaz , onde é a matriz identidade.
Passo 3
No caso da afirmação, sabemos que . Isso significa que é invertível e que o determinante de sua inversa também é 1, já que .
Passo 4
Entretanto, o fato de não garante que seja igual a . Para que , a matriz precisaria satisfazer a condição , ou seja, seria sua própria inversa. Isso só acontece em casos específicos, como em matrizes involutórias.
Passo 5
Por exemplo, considere a matriz identidade . Ela tem e , então nesse caso a afirmação seria verdadeira. Porém, nem todas as matrizes com determinante 1 são iguais às suas inversas.
Passo 6
Outro exemplo: a matriz de rotação em 180 graus no plano tem determinante 1 e . Mas se considerarmos uma matriz de rotação com ângulo diferente, o determinante ainda será 1, mas a inversa não será igual à matriz original.
Resposta
Falsa. Ter não garante que , pois existem matrizes invertíveis com determinante 1 que não são iguais às suas inversas.