Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique por quê.
Se
então
.
Se
Passo 1
Vamos entender a questão: se o determinante da matriz
é 1, será que a inversa de
é igual a
mesma? Para resolver isso, vamos precisar saber sobre determinantes e matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, o determinante de uma matriz, representado por
, nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Se
, então a matriz
é invertível, ou seja, existe uma matriz
que satisfaz
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
No caso da afirmação, sabemos que
. Isso significa que
é invertível e que o determinante de sua inversa também é 1, já que
.
Passo 4
Entretanto, o fato de
não garante que
seja igual a
. Para que
, a matriz
precisaria satisfazer a condição
, ou seja,
seria sua própria inversa. Isso só acontece em casos específicos, como em matrizes involutórias.
Passo 5
Por exemplo, considere a matriz identidade
. Ela tem
e
, então nesse caso a afirmação seria verdadeira. Porém, nem todas as matrizes com determinante 1 são iguais às suas inversas.
Passo 6
Outro exemplo: a matriz de rotação em 180 graus no plano tem determinante 1 e
. Mas se considerarmos uma matriz de rotação com ângulo diferente, o determinante ainda será 1, mas a inversa não será igual à matriz original.
Resposta
Falsa. Ter
não garante que
, pois existem matrizes invertíveis com determinante 1 que não são iguais às suas inversas.