Use determinantes para descobrir se a matriz é invertível.
[rrrr2 & 0 & 0 & 8 1 & -7 & -5 & 0 3 & 8 & 6 & 0 0 & 7 & 5 & 4]

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede pra usar determinantes pra descobrir se uma matriz é inversível. A matéria envolve cálculo de determinantes, e pra resolver, a gente vai precisar calcular o determinante dessa matriz quadrada e ver se ele é diferente de zero.
2 & 0 & 0 & 8 1 & -7 & -5 & 0 3 & 8 & 6 & 0 0 & 7 & 5 & 4

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz 4x4.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do determinante, vamos expandir pela primeira linha, já que ela tem alguns zeros, o que simplifica as contas. A fórmula para o determinante expandido pela primeira linha é:
det(A) = a11 cdot det(A11) - a12 cdot det(A12) + a13 cdot det(A13) - a14 cdot det(A14)
Onde são os elementos da matriz e são as submatrizes resultantes da eliminação da i-ésima linha e j-ésima coluna.

Passo 4

Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 2 cdot det( -7 & -5 & 0 8 & 6 & 0 7 & 5 & 4 ) - 0 cdot det(A12) + 0 cdot det(A13) + 8 cdot (-1)^1+4 cdot det( 1 & -7 & -5 3 & 8 & 6 0 & 7 & 5 )
Os termos com 0 somam nada, então só precisamos calcular os dois determinantes restantes.

Passo 5

Primeiro determinante 3x3:
det( -7 & -5 & 0 8 & 6 & 0 7 & 5 & 4 )
Como a terceira coluna tem dois zeros, vamos expandir por ela:
= 0 - 0 + 4 cdot det( -7 & -5 8 & 6 ) = 4 cdot [(-7)(6) - (-5)(8)] = 4 cdot [-42 + 40] = 4 cdot (-2) = -8

Passo 6

Segundo determinante 3x3:
det( 1 & -7 & -5 3 & 8 & 6 0 & 7 & 5 )
Vamos expandir pela primeira coluna:
= 1 cdot det( 8 & 6 7 & 5 ) - 3 cdot det( -7 & -5 7 & 5 ) + 0 cdot ()
Calculando os determinantes menores:
= 1 cdot (8 cdot 5 - 6 cdot 7) - 3 cdot [(-7)(5) - (-5)(7)] = 1 cdot (40 - 42) - 3 cdot (-35 + 35) = -2 - 0 = -2

Passo 7

Agora, substituindo de volta na fórmula original:
det(A) = 2 cdot (-8) + 8 cdot (-2) = -16 - 16 = -32

Resposta

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

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Use determinantes para descobrir se a matriz é invertível.
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Se det A=1 então A^-1=A.