Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(j) sumn=1^infty n3^n.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: a série que queremos analisar é sumn=1^infty n3^n. O assunto envolve séries infinitas e, para determinar se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

O Teste da Razão é uma técnica que ajuda a verificar a convergência de uma série observando a razão entre termos consecutivos. Basicamente, a gente calcula o limite da razão entre o termo de índice n+1 e o termo de índice n quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty n+13^n+1n3^n = limn to infty n+13n = limn to infty 1 + 1n3 = 13

Passo 4

Agora, analisamos o valor de L:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, L = 13, que é menor que 1. Portanto, pela conclusão do Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n3^n é convergente.

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