Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(j) sumn=1^infty n3^n.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: a série que queremos analisar é sumn=1^infty n3^n. O assunto envolve séries infinitas e, para determinar se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

O Teste da Razão é uma técnica que ajuda a verificar a convergência de uma série observando a razão entre termos consecutivos. Basicamente, a gente calcula o limite da razão entre o termo de índice n+1 e o termo de índice n quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty n+13^n+1n3^n = limn to infty n+13n = limn to infty 1 + 1n3 = 13

Passo 4

Agora, analisamos o valor de L:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, L = 13, que é menor que 1. Portanto, pela conclusão do Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n3^n é convergente.

Exercícios relacionados

Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(f) sumn=1^infty 9^n7^n-1
Prove que a série dada é convergente e calcule sua soma: sumn=1^infty(9n^2+n+56^n).
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(m) sumn=1^infty(2 n+3n+1)^n
Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
( ) A sequência (-1)^n é limitada.
( ) A sequência (-1)^n é convergente.
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica sumn=1^infty 1n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1raizn é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1n^3 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 4^n+13^n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty n^2+n-11+2 n+n^2 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 2^n-13^n é convergente.