Encontre uma base para o subespaço W1 cap W2: V=P3, W1=p in P3: p^prime(1)=0 (derivada de p) e W2=p in P3: p^prime prime(1)=0 (segunda derivada de p).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar uma base para a interseção dos subespaços e dentro do espaço das polinômios de grau no máximo 3, que é representado por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e condições impostas por derivadas das funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e :
  • : São todos os polinômios de grau no máximo 3 cuja primeira derivada avaliada em 1 é zero.
  • : São todos os polinômios de grau no máximo 3 cuja segunda derivada avaliada em 1 é zero.
A interseção será o conjunto de polinômios que satisfazem ambas as condições acima.

Passo 3

Vamos começar escrevendo um polinômio geral de grau no máximo 3:
p(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d
Onde são coeficientes reais que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de p^prime(x) = 3a x^2 + 2b x + c :
p^primeprime(x) = 6a x + 2b

Passo 5

Aplicando as condições de 3a (1)^2 + 2b (1) + c = 0 Rightarrow 3a + 2b + c = 0 (Equação 1) e 6a (1) + 2b = 0 Rightarrow 6a + 2b = 0 (Equação 2) :
  1. Para :
çã
  1. Para :
çã

Passo 6

Vamos resolver essas equações para encontrar relações entre os coeficientes 6a + 2b = 0 Rightarrow 3a + b = 0 Rightarrow b = -3a :
Da Equação 2:
3a + 2(-3a) + c = 0 Rightarrow 3a - 6a + c = 0 Rightarrow -3a + c = 0 Rightarrow c = 3a
Agora, substituímos na Equação 1:

Passo 7

Agora que temos p(x) = a x^3 + (-3a) x^2 + (3a) x + d = a (x^3 - 3x^2 + 3x) + d e em termos de , o polinômio pode ser reescrito como:
Observamos que é livre, ou seja, não está restringido pelas condições de e .

Passo 8

Para expressar p(x) = a (x^3 - 3x^2 + 3x) + d (1) como uma combinação linear, identificamos os coeficientes livres e :
Isso mostra que todo polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Resposta

Uma base para o subespaço é .

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