Encontre uma base para o subespaço
:
(derivada de
) e
(segunda derivada de
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar uma base para a interseção dos subespaços
e
dentro do espaço das polinômios de grau no máximo 3, que é representado por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e condições impostas por derivadas das funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
:
-
: São todos os polinômios de grau no máximo 3 cuja primeira derivada avaliada em 1 é zero. -
: São todos os polinômios de grau no máximo 3 cuja segunda derivada avaliada em 1 é zero.
A interseção
será o conjunto de polinômios que satisfazem ambas as condições acima.
Passo 3
Vamos começar escrevendo um polinômio geral de grau no máximo 3:
Onde
são coeficientes reais que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
:
Passo 5
Aplicando as condições de
e
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Vamos resolver essas equações para encontrar relações entre os coeficientes
:
Da Equação 2:
Agora, substituímos
na Equação 1:
Passo 7
Agora que temos
e
em termos de
, o polinômio
pode ser reescrito como:
Observamos que
é livre, ou seja, não está restringido pelas condições de
e
.
Passo 8
Para expressar
como uma combinação linear, identificamos os coeficientes livres
e
:
Isso mostra que todo polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Resposta
Uma base para o subespaço
é
.
Exercícios relacionados
Verifique se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
:
e
.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se e
são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.
(b) Se
Mostre que os polinômios
e
formam uma base de
. Exprima o polinômio
como uma combinação linear desses polinômios.
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se
.
(b) ,
.
(b)