Encontre uma base para o subespaço : (derivada de ) e (segunda derivada de ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar uma base para a interseção dos subespaços e dentro do espaço das polinômios de grau no máximo 3, que é representado por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e condições impostas por derivadas das funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e :
  • : São todos os polinômios de grau no máximo 3 cuja primeira derivada avaliada em 1 é zero.
  • : São todos os polinômios de grau no máximo 3 cuja segunda derivada avaliada em 1 é zero.
A interseção será o conjunto de polinômios que satisfazem ambas as condições acima.

Passo 3

Vamos começar escrevendo um polinômio geral de grau no máximo 3:
Onde são coeficientes reais que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de :

Passo 5

Aplicando as condições de e :
  1. Para :
çã
  1. Para :
çã

Passo 6

Vamos resolver essas equações para encontrar relações entre os coeficientes :
Da Equação 2:
Agora, substituímos na Equação 1:

Passo 7

Agora que temos e em termos de , o polinômio pode ser reescrito como:
Observamos que é livre, ou seja, não está restringido pelas condições de e .

Passo 8

Para expressar como uma combinação linear, identificamos os coeficientes livres e :
Isso mostra que todo polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Resposta

Uma base para o subespaço é .

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Verifique se cada um dos subconjuntos é um subespaço vetorial do espaço vetorial : e .
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(b) Se e são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .
Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como uma combinação linear desses polinômios.
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se .
(b) , .