Verifique, em cada um dos itens abaixo, se
.
(a)
,
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente precisa verificar se o espaço vetorial
pode ser decomposto como uma soma direta dos subespaços
e
. Ou seja, se
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma direta de subespaços e verificar duas coisas principais: se todo vetor de
pode ser escrito como soma de um vetor de
e outro de
, e se a interseção entre
e
é apenas o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que cada vetor em
pode ser escrito de uma e somente uma forma como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Para isso, precisamos que duas condições sejam satisfeitas:
- Soma direta: Todo vetor em
pode ser escrito como , onde e . - Interseção somente do zero: A única coisa que
e têm em comum é o vetor zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se toda
em
pode ser escrita como
, onde
e
.
Temos:
Tomemos um vetor qualquer
em
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Sabemos que
satisfaz
e
satisfaz
. Vamos resolver esse sistema.
Passo 4
Como
(do subespaço
), podemos substituir
por
na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, precisamos também considerar que
(do subespaço
). Vamos resolver esse sistema de equações para achar
em termos de
e
.
Primeiro, da equação
, podemos expressar
.
Substituindo
na equação
:
E da equação
temos:
Substituindo (2) na (1):
Agora, substituindo
de volta na equação (2):
E
Passo 5
Encontramos
em termos de
e
. Agora, vamos verificar a segunda condição: a interseção de
e
é somente o vetor zero.
Para isso, vamos encontrar os vetores que estão em ambos
e
:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Portanto, a única solução é
, ou seja,
.
Resposta
Sim,
pode ser escrito como a soma direta dos subespaços
e
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(a) Se e
são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.
(a) Se
Encontre os subespaços vetoriais
e
, em que
são subespaços do espaço vetorial
, onde
.
Verifique se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
:
e
.
Encontre uma base para o subespaço
:
e
.