Verifique, em cada um dos itens abaixo, se .
(a) , .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente precisa verificar se o espaço vetorial pode ser decomposto como uma soma direta dos subespaços e . Ou seja, se . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma direta de subespaços e verificar duas coisas principais: se todo vetor de pode ser escrito como soma de um vetor de e outro de , e se a interseção entre e é apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que cada vetor em pode ser escrito de uma e somente uma forma como a soma de um vetor de e um vetor de . Para isso, precisamos que duas condições sejam satisfeitas:
  1. Soma direta: Todo vetor em pode ser escrito como , onde e .
  2. Interseção somente do zero: A única coisa que e têm em comum é o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se toda em pode ser escrita como , onde e .
Temos:
Tomemos um vetor qualquer em . Queremos encontrar e tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Sabemos que satisfaz e satisfaz . Vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Como (do subespaço ), podemos substituir por na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, precisamos também considerar que (do subespaço ). Vamos resolver esse sistema de equações para achar em termos de e .
Primeiro, da equação , podemos expressar .
Substituindo na equação :
E da equação temos:
Substituindo (2) na (1):
Agora, substituindo de volta na equação (2):
E

Passo 5

Encontramos em termos de e . Agora, vamos verificar a segunda condição: a interseção de e é somente o vetor zero.
Para isso, vamos encontrar os vetores que estão em ambos e :
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Portanto, a única solução é , ou seja, .

Resposta

Sim, pode ser escrito como a soma direta dos subespaços e , ou seja, .

Exercícios relacionados

Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(a) Se e são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .
Encontre os subespaços vetoriais e , em que são subespaços do espaço vetorial , onde .
Verifique se cada um dos subconjuntos é um subespaço vetorial do espaço vetorial : e .
Encontre uma base para o subespaço : e .