Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V=U oplus W.
(a) V=R^2, U=(x, y) in R^2: 2 x+3 y=0, W=(x, y) in R^2: x-y=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente precisa verificar se o espaço vetorial pode ser decomposto como uma soma direta dos subespaços e . Ou seja, se . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma direta de subespaços e verificar duas coisas principais: se todo vetor de pode ser escrito como soma de um vetor de e outro de , e se a interseção entre e é apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que cada vetor em pode ser escrito de uma e somente uma forma como a soma de um vetor de e um vetor de . Para isso, precisamos que duas condições sejam satisfeitas:
  1. Soma direta: Todo vetor em pode ser escrito como , onde e .
  2. Interseção somente do zero: A única coisa que e têm em comum é o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se toda (x1, y1) + (x2, y2) = (a, b) em x1 + x2 = a y1 + y2 = b pode ser escrita como , onde e .
Temos:
Tomemos um vetor qualquer em . Queremos encontrar e tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Sabemos que satisfaz e satisfaz . Vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Como x1 + y2 = a (do subespaço y1 + y2 = b ), podemos substituir -32y1 + y2 = a (1) por y2 = b - y1 (2) na primeira equação:
-32y1 + (b - y1) = a -32y1 - y1 + b = a -52y1 = a - b y1 = 25(b - a)
E na segunda equação:
y2 = b - 25(b - a) = b - 2b - 2a5 = 5b - 2b + 2a5 = 3b + 2a5
Agora, precisamos também considerar que (do subespaço ). Vamos resolver esse sistema de equações para achar em termos de e .
Primeiro, da equação , podemos expressar .
Substituindo na equação :
E da equação temos:
Substituindo (2) na (1):
Agora, substituindo de volta na equação (2):
E

Passo 5

Encontramos U cap W = (x, y) in R^2 : 2x + 3y = 0 e x - y = 0 em termos de 2x + 3y = 0 x - y = 0 e 2y + 3y = 0 Rightarrow 5y = 0 Rightarrow y = 0 Rightarrow x = 0 . Agora, vamos verificar a segunda condição: a interseção de e é somente o vetor zero.
Para isso, vamos encontrar os vetores que estão em ambos e :
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Portanto, a única solução é , ou seja, .

Resposta

Sim, pode ser escrito como a soma direta dos subespaços e , ou seja, .

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