Verifique se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O subconjunto
é formado por matrizes desse tipo:
, onde
e
são números reais. Nosso objetivo aqui é descobrir se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço e verificar cada um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: A matriz nula (todas as entradas iguais a zero) deve estar em
. - Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer de
e somarmos, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz de
por qualquer número real, a matriz resultante também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para
.
Passo 3
1. Verificando se a matriz zero está em
:
A matriz zero em
é:
Para que essa matriz esteja em
, devemos encontrar valores de
e
que satisfazem:
Isso implica que:
Resolvendo, encontramos que
e
, então a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Verificando a adição de matrizes em
:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de
:
Agora, somando
:
onde
e
. Isso mostra que a soma de duas matrizes em
também está em
.
Passo 5
3. Verificando a multiplicação por escalar em
:
Vamos pegar uma matriz qualquer de
:
E multiplicar por um escalar
:
onde
e
. Assim,
também está em
.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se
.
(a) ,
.
(a)
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(a) Se e
são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.
(a) Se
Encontre uma base para o subespaço
:
e
.
Seja
um subconjunto de
. Mostre que
e encontre
.