Verifique se cada um dos subconjuntos é um subespaço vetorial do espaço vetorial : e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O subconjunto é formado por matrizes desse tipo: , onde e são números reais. Nosso objetivo aqui é descobrir se é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço e verificar cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: A matriz nula (todas as entradas iguais a zero) deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer de e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz de por qualquer número real, a matriz resultante também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para .

Passo 3

1. Verificando se a matriz zero está em :
A matriz zero em é:
Para que essa matriz esteja em , devemos encontrar valores de e que satisfazem:
Isso implica que:
Resolvendo, encontramos que e , então a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificando a adição de matrizes em :
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de :
Agora, somando :
onde e . Isso mostra que a soma de duas matrizes em também está em .

Passo 5

3. Verificando a multiplicação por escalar em :
Vamos pegar uma matriz qualquer de :
E multiplicar por um escalar :
onde e . Assim, também está em .

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Verifique, em cada um dos itens abaixo, se .
(a) , .
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(a) Se e são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .
Encontre uma base para o subespaço : e .
Seja um subconjunto de . Mostre que e encontre .