Verifique se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V: V=M2(R) e W=(cca & a+b a & b): a, b in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço vetorial V = M2(R), que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O subconjunto W é formado por matrizes desse tipo: (cca & a+b a & b), onde a e b são números reais. Nosso objetivo aqui é descobrir se W é um subespaço vetorial de V. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço e verificar cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: A matriz nula (todas as entradas iguais a zero) deve estar em W.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer de W e somarmos, o resultado também deve estar em W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz de W por qualquer número real, a matriz resultante também deve estar em W.
Vamos verificar cada um desses critérios para W.

Passo 3

1. Verificando se a matriz zero está em W:
A matriz zero em V é:
(cc 0 & 0 0 & 0 )
Para que essa matriz esteja em W, devemos encontrar valores de a e b que satisfazem:
(cc a & a + b a & b ) = (cc 0 & 0 0 & 0 )
Isso implica que:
a = 0 a + b = 0 b = 0
Resolvendo, encontramos que a = 0 e b = 0, então a matriz zero está em W.

Passo 4

2. Verificando a adição de matrizes em W:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de W:
A = (cc a1 & a1 + b1 a1 & b1 ), B = (cc a2 & a2 + b2 a2 & b2 )
Agora, somando A + B:
A + B = (cc a1 + a2 & (a1 + b1) + (a2 + b2) a1 + a2 & b1 + b2 ) = (cc a' & a' + b' a' & b' )
onde a' = a1 + a2 e b' = b1 + b2. Isso mostra que a soma de duas matrizes em W também está em W.

Passo 5

3. Verificando a multiplicação por escalar em W:
Vamos pegar uma matriz qualquer de W:
A = (cc a & a + b a & b )
E multiplicar por um escalar k in R:
kA = (cc ka & k(a + b) ka & kb ) = (cc a' & a' + b' a' & b' )
onde a' = ka e b' = kb. Assim, kA também está em W.

Resposta

Como W contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de V = M2(R).

Exercícios relacionados