Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que analisar se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente:
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque o intervalo de integração vai até o infinito. Para resolver isso, precisamos entender se a área sob a curva dessa função se aproxima de um valor finito ou se ela cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função para
tendendo a
. Isso nos ajudará a entender o comportamento da integral no extremo inferior.
Para isso, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Quando
tende a
, os termos com maior grau dominam. Então, a função se comporta como:
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral de
de
a 2:
Sabemos que a integral de
é o logaritmo natural de
. Então, temos:
À medida que
tende a
,
tende a
, então:
Isso significa que a integral de
de
a 2 diverge.
Passo 4
Voltando à nossa função original, já vimos que para
tendendo a
, ela se comporta como
e sua integral diverge. Portanto, a nossa integral original também diverge, pois o comportamento no extremo inferior já leva a uma integral infinita.
Resposta
A integral imprópria é divergente.
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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
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