Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que analisar se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente:
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque o intervalo de integração vai até o infinito. Para resolver isso, precisamos entender se a área sob a curva dessa função se aproxima de um valor finito ou se ela cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função para tendendo a . Isso nos ajudará a entender o comportamento da integral no extremo inferior.
Para isso, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Quando tende a , os termos com maior grau dominam. Então, a função se comporta como:

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral de de a 2:
Sabemos que a integral de é o logaritmo natural de . Então, temos:
À medida que tende a , tende a , então:
Isso significa que a integral de de a 2 diverge.

Passo 4

Voltando à nossa função original, já vimos que para tendendo a , ela se comporta como e sua integral diverge. Portanto, a nossa integral original também diverge, pois o comportamento no extremo inferior já leva a uma integral infinita.

Resposta

A integral imprópria é divergente.

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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
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Seja . Calcule .