Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral-1^1 x^-4 / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral imprópria integral-1^1 x^-4 / 3 , dx converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. A função x^-4/3 tem uma descontinuidade em x = 0, já que não está definida nesse ponto. Por isso, precisamos dividir a integral em duas partes, uma de -1 até 0 e outra de 0 até 1, e calcular os limites quando a gente se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos reescrever a integral como a soma de duas integrais:
integral-1^1 x^-4 / 3 , dx = lima to 0^- integral-1^a x^-4 / 3 , dx + limb to 0^+ integralb^1 x^-4 / 3 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais. A antiderivada de x^-4/3 é:
integral x^-4/3 , dx = x^-1/3-1/3 = -3x^-1/3 + C

Passo 5

Aplicando os limites, começamos pela integral de 0 a 1:
limb to 0^+ [ -3x^-1/3 ]b^1 = limb to 0^+ (-3(1)^-1/3 + 3b^-1/3) = -3 + infty = infty
Isso mostra que essa parte da integral tende ao infinito.

Passo 6

Agora, fazemos a integral de -1 a 0:
Para x < 0, x^-4/3 pode ser reescrito como |x|^-4/3, já que a potência é par. Então:
lima to 0^- [ -3|x|^-1/3 ]-1^a = lima to 0^- (-3|a|^-1/3 + 3) = -infty + 3 = -infty
Essa parte também tende ao infinito.

Passo 7

Como ambas as partes da integral tendem ao infinito, podemos concluir que a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral integral-1^1 x^-4 / 3 , dx diverge.

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