Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. A função
tem uma descontinuidade em
, já que não está definida nesse ponto. Por isso, precisamos dividir a integral em duas partes, uma de
até
e outra de
até
, e calcular os limites quando a gente se aproxima de
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral como a soma de duas integrais:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais. A antiderivada de
é:
Passo 5
Aplicando os limites, começamos pela integral de
a
:
Isso mostra que essa parte da integral tende ao infinito.
Passo 6
Agora, fazemos a integral de
a
:
Para
,
pode ser reescrito como
, já que a potência é par. Então:
Essa parte também tende ao infinito.
Passo 7
Como ambas as partes da integral tendem ao infinito, podemos concluir que a integral imprópria diverge.
Resposta
A integral
diverge.
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Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.