Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral0^4 d x(4-x)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se a integral imprópria integral0^4 dx(4 - x)^3/2 converge ou diverge. A gente vai usar cálculo integral, especificamente lidando com integrais impróprias, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função 1(4 - x)^3/2, vemos que quando x se aproxima de 4, o denominador (4 - x)^3/2 tende a zero, o que faz a função tender ao infinito. Então, temos um ponto problemático em x = 4.

Passo 3

Para lidar com isso, a gente vai transformar a integral imprópria em um limite. Em vez de integrar até 4 diretamente, vamos integrar até 4 - epsilon, onde epsilon é um número bem pequeno positivo, e depois ver o que acontece quando epsilon tende a zero.
Então, reescrevemos a integral assim:
integral0^4 dx(4 - x)^3/2 = limepsilon to 0^+ integral0^4 - epsilon dx(4 - x)^3/2

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral dx(4 - x)^3/2. Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar u = 4 - x, então du = -dx, ou seja, dx = -du.
Substituindo na integral:
integral dxu^3/2 = -integral u^-3/2 du

Passo 5

Integrando u^-3/2 em relação a u:
- integral u^-3/2 du = - ( u^-1/2-1/2 ) + C = 2u^-1/2 + C
Voltando para x, temos:
2(4 - x)^-1/2 + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 até 4 - epsilon:
[ 2(4 - x)^-1/2 ]0^4 - epsilon = 2(4 - (4 - epsilon))^-1/2 - 2(4 - 0)^-1/2
Simplificando:
2(epsilon)^-1/2 - 2(4)^-1/2 = 2raizepsilon - 22 = 2raizepsilon - 1

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite quando epsilon tende a zero:
limepsilon to 0^+ ( 2raizepsilon - 1 ) = infty - 1 = infty
Isso significa que a integral cresce sem limite quando nos aproximamos de x = 4.

Resposta

A integral diverge; ela não converge para um valor finito.

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