Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se a integral imprópria converge ou diverge. A gente vai usar cálculo integral, especificamente lidando com integrais impróprias, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função , vemos que quando se aproxima de 4, o denominador tende a zero, o que faz a função tender ao infinito. Então, temos um ponto problemático em .

Passo 3

Para lidar com isso, a gente vai transformar a integral imprópria em um limite. Em vez de integrar até 4 diretamente, vamos integrar até , onde é um número bem pequeno positivo, e depois ver o que acontece quando tende a zero.
Então, reescrevemos a integral assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 5

Integrando em relação a :
Voltando para , temos:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de até :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite quando tende a zero:
Isso significa que a integral cresce sem limite quando nos aproximamos de .

Resposta

A integral diverge; ela não converge para um valor finito.

Exercícios relacionados

Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Encontre a transformada de Laplace das funções