Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se a integral imprópria
converge ou diverge. A gente vai usar cálculo integral, especificamente lidando com integrais impróprias, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função
, vemos que quando
se aproxima de 4, o denominador
tende a zero, o que faz a função tender ao infinito. Então, temos um ponto problemático em
.
Passo 3
Para lidar com isso, a gente vai transformar a integral imprópria em um limite. Em vez de integrar até 4 diretamente, vamos integrar até
, onde
é um número bem pequeno positivo, e depois ver o que acontece quando
tende a zero.
Então, reescrevemos a integral assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Voltando para
, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
até
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a zero:
Isso significa que a integral cresce sem limite quando nos aproximamos de
.
Resposta
A integral diverge; ela não converge para um valor finito.
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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
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