Seja . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada de no ponto . Para resolver isso, vamos usar derivadas de funções compostas e a regra do produto. Precisamos entender como derivar produtos de funções e funções elevadas a potências.

Passo 2

Primeiro, identifique as partes da função . Temos duas funções multiplicadas:
Para derivar , vamos usar a Regra do Produto, que diz:

Passo 3

Vamos calcular . Aqui, é uma função composta, então usamos a Regra da Cadeia. A regra da cadeia para é:
Aplicando isso:
Calculando a derivada dentro:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada de é:

Passo 5

Com e encontrados, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos . Basta substituir na expressão de :
Primeiro, calcule em :
Então:
Simplificando cada termo:

Resposta

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Encontre a transformada de Laplace das funções
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
a) Seja . Calcule .
b) Seja . Calcule .