É Falso ou Verdadeiro? Justifique suas respostas.
d. (10) Se A e B matrizes 5 times 5 e B é obtida de A quando multiplicamos 2^a linha por (raiz3+raiz2) e 4^a linha por(raiz3-raiz2). Então |A|=2^5|B|.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos diz que temos duas matrizes e , ambas de tamanho . A matriz é obtida a partir de realizando duas operações nas linhas: multiplicar a -ésima linha por e a -ésima linha por . A pergunta é se o determinante de é igual a vezes o determinante de , ou seja, se .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as operações nas linhas de uma matriz afetam o determinante dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que quando você multiplica uma linha de uma matriz por um número, o determinante da matriz também é multiplicado por esse número. Isso faz parte das propriedades dos determinantes.
Matematicamente, se você tem uma matriz e você multiplica uma linha por um número , o novo determinante será .

Passo 3

No nosso caso, estamos fazendo duas multiplicações em linhas diferentes:
  1. Multiplicamos a |B| = (raiz3 + raiz2) times (raiz3 - raiz2) times |A| -ésima linha por .
  2. Multiplicamos a -ésima linha por .
Cada uma dessas operações irá multiplicar o determinante da matriz por esses fatores. Então, o determinante de será:

Passo 4

Vamos simplificar os fatores:
(raiz3 + raiz2) times (raiz3 - raiz2) = (raiz3)^2 - (raiz2)^2 = 3 - 2 = 1
Então:
|B| = 1 times |A| Rightarrow |B| = |A|

Passo 5

Agora, a questão pergunta se |A| = 2^5 |A| . Mas já vimos que . Então, substituindo:
Isso só seria verdade se , o que claramente não é o caso, já que .

Resposta

Falso. O determinante de é igual ao determinante de , ou seja, , e não .

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