É Falso ou Verdadeiro? Justifique suas respostas.
d. (10) Se
e
matrizes
e
é obtida de
quando multiplicamos
linha por
e
linha
. Então
.
d. (10) Se
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos diz que temos duas matrizes
e
, ambas de tamanho
. A matriz
é obtida a partir de
realizando duas operações nas linhas: multiplicar a
-ésima linha por
e a
-ésima linha por
. A pergunta é se o determinante de
é igual a
vezes o determinante de
, ou seja, se
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as operações nas linhas de uma matriz afetam o determinante dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que quando você multiplica uma linha de uma matriz por um número, o determinante da matriz também é multiplicado por esse número. Isso faz parte das propriedades dos determinantes.
Matematicamente, se você tem uma matriz
e você multiplica uma linha por um número
, o novo determinante será
.
Passo 3
No nosso caso, estamos fazendo duas multiplicações em linhas diferentes:
- Multiplicamos a
-ésima linha por . - Multiplicamos a
-ésima linha por .
Cada uma dessas operações irá multiplicar o determinante da matriz por esses fatores. Então, o determinante de
será:
Passo 4
Vamos simplificar os fatores:
Então:
Passo 5
Agora, a questão pergunta se
. Mas já vimos que
. Então, substituindo:
Isso só seria verdade se
, o que claramente não é o caso, já que
.
Resposta
Falso. O determinante de
é igual ao determinante de
, ou seja,
, e não
.