Diga se o conjunto é uma base para . Justifique

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para saber se o conjunto é uma base para . Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma base. Basicamente, uma base de um espaço vetorial como o é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e são linearmente independentes. Então, vamos verificar essas duas coisas para o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se os vetores de geram . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Para conferir isso, a gente monta uma matriz com os vetores de como colunas e calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores geram o espaço.
A matriz fica assim:
Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, os vetores de geram .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Como já calculamos o determinante da matriz formada por esses vetores e ele é diferente de zero, isso também nos garante que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para porque os vetores geram o espaço e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Diga se o conjunto é uma base para . Justifique
Diga se o conjunto é uma base para . Justifique.
Diga se o conjunto é uma base para . Justifique
Mostre que as matrizes
Formam uma base para o Espaço Vetorial