Diga se o conjunto S é uma base para E=R^3. Justifique
S=(1,0,0),(0,2,-1),(3,4,1)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para saber se o conjunto é uma base para . Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma base. Basicamente, uma base de um espaço vetorial como o é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e são linearmente independentes. Então, vamos verificar essas duas coisas para o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se os vetores de A = 1 & 0 & 3 0 & 2 & 4 0 & -1 & 1 geram det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 4 cdot (-1)) - 0 + 3 cdot (0 cdot (-1) - 2 cdot 0) = 1 cdot (2 + 4) + 0 + 3 cdot 0 = 6 . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Para conferir isso, a gente monta uma matriz com os vetores de como colunas e calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores geram o espaço.
A matriz fica assim:
Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, os vetores de geram .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Como já calculamos o determinante da matriz formada por esses vetores e ele é diferente de zero, isso também nos garante que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para porque os vetores geram o espaço e são linearmente independentes.

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