Diga se converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge a série
Passo 1
Beleza, então a gente tem a série . O que a gente quer saber é se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de convergência absoluta e teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série sem considerar os sinais negativos, ou seja, .
Sabemos que quando é pequeno. Então, para grande, . Isso nos leva a comparar com a série , que é a série harmônica conhecida por divergir.
Como a série comparada diverge e nossos termos são maiores ou iguais a , concluímos que a série das valores absolutos diverge. Portanto, a série não converge absolutamente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos de uma série alternada satisfazem:
para todo ,
é uma sequência decrescente,
,
então a série converge.
No nosso caso, .
porque é positivo para .
A função diminui conforme aumenta, então é decrescente.
.
Como todas as condições do teste são satisfeitas, a série converge condicionalmente.