Diga se converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge a série

Passo 1

Beleza, então a gente tem a série . O que a gente quer saber é se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de convergência absoluta e teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série sem considerar os sinais negativos, ou seja, .
Sabemos que quando é pequeno. Então, para grande, . Isso nos leva a comparar com a série , que é a série harmônica conhecida por divergir.
Como a série comparada diverge e nossos termos são maiores ou iguais a , concluímos que a série das valores absolutos diverge. Portanto, a série não converge absolutamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos de uma série alternada satisfazem:
  1. para todo ,
  2. é uma sequência decrescente,
  3. ,
então a série converge.
No nosso caso, .
  1. porque é positivo para .
  2. A função diminui conforme aumenta, então é decrescente.
  3. .
Como todas as condições do teste são satisfeitas, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados

Mostre que , e explique porque tal quebra não nos mostra que a série é telescópica.
Explique a diferença de uma série convergir absolutamente e condicionalmente, e dê 2 exemplos de séries que convergem condicionalmente, explicando porque a convergência não é absoluta.
Dê dois exemplos que justifiquem porque não é suficiente que 0 para que uma série seja convergente.
Explique porque a série é divergente.