Mostre que , e explique porque tal quebra não nos mostra que a série é telescópica.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que e depois explicar por que essa decompostura não faz a série ser telescópica. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender o que é uma série telescópica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar mostrar que pode ser escrita como . Para fazer isso, a gente pode usar a técnica de frações parciais. A ideia é de passar uma expressão complicada em duas mais simples que somadas dão o original.
Vamos começar com:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e combinar os termos:
Agrupando os termos com e os constantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos com e os constantes devem ser iguais nos dois lados.

Passo 4

Isso nos leva a um sistema de equações:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:
Isso confirma a primeira parte da questão.

Passo 6

Agora, vamos falar sobre a série . Uma série telescópica é aquela onde, ao somar os termos, muitas partes se cancelam, deixando apenas os termos das extremidades. Isso geralmente acontece quando os termos são de forma , onde é uma constante.
No nosso caso, mesmo tendo decomposto a fração em , não conseguimos esse cancelamento das partes internas da série porque os índices não estão alinhados de forma que uma parte de um termo cancele com a parte de outro termo.

Resposta

Assim, mostramos que , mas essa decompostura não torna a série telescópica porque os termos não se cancelam de forma a simplificar a soma total.

Exercícios relacionados

Explique a diferença de uma série convergir absolutamente e condicionalmente, e dê 2 exemplos de séries que convergem condicionalmente, explicando porque a convergência não é absoluta.
Escreva os 10 primeiros termos da série e de , a partir disso compare tais séries e conclua para qual valor de elas são iguais.
Diga se converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge a série
Dê dois exemplos que justifiquem porque não é suficiente que 0 para que uma série seja convergente.