Mostre que 12 n(2 n-1)=12 n-12 n-1, e explique porque tal quebra não nos mostra que a série sumn=1^infty 12 n(2 n-1) é telescópica.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que e depois explicar por que essa decompostura não faz a série ser telescópica. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender o que é uma série telescópica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar mostrar que 12n(2n-1) = A2n + B2n-1 pode ser escrita como . Para fazer isso, a gente pode usar a técnica de frações parciais. A ideia é de passar uma expressão complicada em duas mais simples que somadas dão o original.
Vamos começar com:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(2n - 1) + B(2n) para eliminar os denominadores:
1 = 2An - A + 2Bn
Agora, vamos expandir e combinar os termos:
1 = (2A + 2B)n - A
Agrupando os termos com e os constantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos com e os constantes devem ser iguais nos dois lados.

Passo 4

Isso nos leva a um sistema de equações:
2A + 2B = 0 -A = 1
Da segunda equação, temos:
-A = 1 Rightarrow A = -1
Substituindo 2(-1) + 2B = 0 Rightarrow -2 + 2B = 0 Rightarrow 2B = 2 Rightarrow B = 1 na primeira equação:

Passo 5

Agora que encontramos 12n(2n-1) = -12n + 12n-1 = 12n - 12n-1 e , podemos reescrever a fração original:
Isso confirma a primeira parte da questão.

Passo 6

Agora, vamos falar sobre a série . Uma série telescópica é aquela onde, ao somar os termos, muitas partes se cancelam, deixando apenas os termos das extremidades. Isso geralmente acontece quando os termos são de forma , onde é uma constante.
No nosso caso, mesmo tendo decomposto a fração em , não conseguimos esse cancelamento das partes internas da série porque os índices não estão alinhados de forma que uma parte de um termo cancele com a parte de outro termo.

Resposta

Assim, mostramos que , mas essa decompostura não torna a série telescópica porque os termos não se cancelam de forma a simplificar a soma total.

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