Mostre que
, e explique porque tal quebra não nos mostra que a série
é telescópica.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que
e depois explicar por que essa decompostura não faz a série
ser telescópica. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender o que é uma série telescópica.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar mostrar que
pode ser escrita como
. Para fazer isso, a gente pode usar a técnica de frações parciais. A ideia é de passar uma expressão complicada em duas mais simples que somadas dão o original.
Vamos começar com:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e combinar os termos:
Agrupando os termos com
e os constantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos com
e os constantes devem ser iguais nos dois lados.
Passo 4
Isso nos leva a um sistema de equações:
Da segunda equação, temos:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Isso confirma a primeira parte da questão.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre a série
. Uma série telescópica é aquela onde, ao somar os termos, muitas partes se cancelam, deixando apenas os termos das extremidades. Isso geralmente acontece quando os termos são de forma
, onde
é uma constante.
No nosso caso, mesmo tendo decomposto a fração em
, não conseguimos esse cancelamento das partes internas da série porque os índices não estão alinhados de forma que uma parte de um termo cancele com a parte de outro termo.
Resposta
Assim, mostramos que
, mas essa decompostura não torna a série
telescópica porque os termos não se cancelam de forma a simplificar a soma total.
Exercícios relacionados
Explique a diferença de uma série convergir absolutamente e condicionalmente, e dê 2 exemplos de séries que convergem condicionalmente, explicando porque a convergência não é absoluta.
Escreva os 10 primeiros termos da série
e de
, a partir disso compare tais séries e conclua para qual valor de
elas são iguais.
Diga se converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge a série
Dê dois exemplos que justifiquem porque não é suficiente que
0 para que uma série seja convergente.