Diga se é falsa ou verdadeira cada afirmação abaixo, justificando sua resposta. A transformação T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(|x|, y) é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a transformação definida por é linear ou não. A gente vai precisar saber o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve obedecer para ser considerada assim.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Isso quer dizer que, se a transformação mantém a estrutura de adição e escala, ela é linear.

Passo 3

Vamos verificar se a transformação cumpre essas duas propriedades. Primeiro, vamos testar a adição de vetores.

Passo 4

Teste da Adição de Vetores:
Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (|x1 + x2|, y1 + y2) e T(u) + T(v) = (|x1|, y1) + (|x2|, y2) = (|x1| + |x2|, y1 + y2) . Então,
|1 + (-1)| = |0| = 0 e |1| + |-1| = 1 + 1 = 2
Por outro lado,
Para que a transformação seja linear, esses dois resultados precisam ser iguais. Mas, sabemos que nem sempre é igual a . Por exemplo, se e , então:
Os resultados são diferentes, então a propriedade de adição não é satisfeita.

Passo 5

Como a transformação não satisfaz a propriedade de adição de vetores, ela já não pode ser linear. Não precisamos testar a segunda propriedade, porque para ser linear, ambas as propriedades devem ser verdadeiras.

Resposta

A afirmação é falsa. A transformação não é linear porque não preserva a adição de vetores, já que nem sempre é igual a .

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