Diga se é falsa ou verdadeira cada afirmação abaixo, justificando sua resposta. A transformação definida por é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a transformação definida por é linear ou não. A gente vai precisar saber o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve obedecer para ser considerada assim.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
Adição de Vetores:
Multiplicação por Escalar:
Isso quer dizer que, se a transformação mantém a estrutura de adição e escala, ela é linear.
Passo 3
Vamos verificar se a transformação cumpre essas duas propriedades. Primeiro, vamos testar a adição de vetores.
Passo 4
Teste da Adição de Vetores:
Seja e . Então,
Por outro lado,
Para que a transformação seja linear, esses dois resultados precisam ser iguais. Mas, sabemos que nem sempre é igual a . Por exemplo, se e , então:
Os resultados são diferentes, então a propriedade de adição não é satisfeita.
Passo 5
Como a transformação não satisfaz a propriedade de adição de vetores, ela já não pode ser linear. Não precisamos testar a segunda propriedade, porque para ser linear, ambas as propriedades devem ser verdadeiras.
Resposta
A afirmação é falsa. A transformação não é linear porque não preserva a adição de vetores, já que nem sempre é igual a .