Resolva três dos ítens abaixo.
Seja
, o conjunto de todos os pares ordenados de componentes reais. Para
e
elementos de
e
, defina
e
. Mostre que
munido destas operações não é um espaço vetorial.
Seja
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que um determinado conjunto não forma um espaço vetorial. O problema nos apresenta o conjunto
, que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Além disso, define operações de adição e multiplicação por escalar específicas. Nosso objetivo é verificar se, com essas operações,
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com duas operações (adição de vetores e multiplicação por escalar), satisfaz uma série de axiomas. Esses axiomas incluem propriedades como a comutatividade e associatividade da adição, existência de um vetor zero, existência de inversos aditivos, e propriedades relacionadas à multiplicação por escalar, como distributividade e associatividade.
Passo 3
No nosso caso, o conjunto
está sendo considerado com operações específicas:
-
Adição: Para dois vetores
e , a soma é definida como . Essa operação segue a definição padrão de adição em e parece estar correta. -
Multiplicação por escalar: Para um escalar
e um vetor , a multiplicação por escalar é definida como . Aqui já percebemos algo diferente da definição usual, onde multiplicar um vetor por um escalar normalmente envolvia multiplicar cada componente do vetor pelo escalar.
Passo 4
Vamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Um dos axiomas importantes relacionados à multiplicação por escalar é:
Axioma de Distribuição sobre a Multiplicação por Escalar:
Vamos testar esse axioma com as operações definidas no problema.
Passo 5
Seja
e
, então:
Multiplicando por um escalar
:
Agora, multiplicando
e
individualmente por
:
Nesse caso, parece que o axioma está sendo satisfeito, pois
.
Passo 6
Vamos verificar outro axioma importante:
Axioma de Multiplicação por Escalar Associativa:
Vamos testar esse axioma.
Passo 7
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos por
:
Por outro lado, calculamos
:
Nesse caso,
, então o axioma também está sendo satisfeito.
Passo 8
Vamos verificar agora o Axioma da Existência do Vetor Zero:
Existe um vetor
em
tal que, para todo vetor
,
?
Considerando a operação de adição definida, o vetor zero seria
.
Vamos verificar:
Ent��o, o vetor zero existe e o axioma está satisfeito.
Passo 9
Agora, vamos verificar o Axioma da Existência de Inversos Aditivos:
Para todo vetor
, existe um vetor
tal que
.
Vamos encontrar
:
Verificando:
Portanto, os inversos aditivos existem e o axioma está satisfeito.
Passo 10
Finalmente, vamos verificar o Axioma da Multiplicação por Escalar Distributiva em Relação à Adi��ão de Escalares:
Vamos testar esse axioma.
Passo 11
Calculando cada lado:
Por outro lado:
Portanto,
, e o axioma é satisfeito.
Passo 12
No entanto, vamos analisar a Multiplicação por Escalar em Relação aos Vetores:
Para ser um espaço vetorial, deve ser que
preserve todas as componentes do vetor após a multiplicação por escalar.
No nosso caso, a segunda componente de
é sempre zero, independentemente do valor de
e do vetor
. Isso significa que, ao multiplicar um vetor por um escalar, a segunda componente não é escalada proporcionalmente, o que viola as propriedades esperadas de um espaço vetorial.
Resposta
Portanto,
munido das operações de adição e multiplicação por escalar definidas não é um espaço vetorial, pois a operação de multiplicação por escalar não preserva todas as componentes dos vetores, violando as propriedades necessárias para um espaço vetorial.