Resolva três dos ítens abaixo.
Seja V=R^2, o conjunto de todos os pares ordenados de componentes reais. Para u=(u1, u2) e v=v1, v2) elementos de V e alpha in R, defina u+v=(u1+v1, u2+v2) e alpha u=(alpha u1, 0). Mostre que V munido destas operações não é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que um determinado conjunto não forma um espaço vetorial. O problema nos apresenta o conjunto , que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Além disso, define operações de adição e multiplicação por escalar específicas. Nosso objetivo é verificar se, com essas operações, satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com duas operações (adição de vetores e multiplicação por escalar), satisfaz uma série de axiomas. Esses axiomas incluem propriedades como a comutatividade e associatividade da adição, existência de um vetor zero, existência de inversos aditivos, e propriedades relacionadas à multiplicação por escalar, como distributividade e associatividade.

Passo 3

No nosso caso, o conjunto está sendo considerado com operações específicas:
  • Adição: Para dois vetores e , a soma é definida como . Essa operação segue a definição padrão de adição em e parece estar correta.
  • Multiplicação por escalar: Para um escalar e um vetor , a multiplicação por escalar é definida como . Aqui já percebemos algo diferente da definição usual, onde multiplicar um vetor por um escalar normalmente envolvia multiplicar cada componente do vetor pelo escalar.

Passo 4

Vamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Um dos axiomas importantes relacionados à multiplicação por escalar é:
Axioma de Distribuição sobre a Multiplicação por Escalar:
alpha(u + v) = alpha u + alpha v
Vamos testar esse axioma com as operações definidas no problema.

Passo 5

Seja e , então:
Multiplicando por um escalar :
Agora, multiplicando e individualmente por :
Nesse caso, parece que o axioma está sendo satisfeito, pois .

Passo 6

Vamos verificar outro axioma importante:
Axioma de Multiplicação por Escalar Associativa:
alpha(beta u) = (alpha beta)u
Vamos testar esse axioma.

Passo 7

Primeiro, calculamos :
Agora, multiplicamos por :
Por outro lado, calculamos :
Nesse caso, , então o axioma também está sendo satisfeito.

Passo 8

Vamos verificar agora o Axioma da Existência do Vetor Zero:
Existe um vetor em tal que, para todo vetor , ?
Considerando a operação de adição definida, o vetor zero seria .
Vamos verificar:
Ent��o, o vetor zero existe e o axioma está satisfeito.

Passo 9

Agora, vamos verificar o Axioma da Existência de Inversos Aditivos:
Para todo vetor , existe um vetor tal que .
Vamos encontrar :
Verificando:
Portanto, os inversos aditivos existem e o axioma está satisfeito.

Passo 10

Finalmente, vamos verificar o Axioma da Multiplicação por Escalar Distributiva em Relação à Adi��ão de Escalares:
(alpha + beta)u = alpha u + beta u
Vamos testar esse axioma.

Passo 11

Calculando cada lado:
Por outro lado:
Portanto, , e o axioma é satisfeito.

Passo 12

No entanto, vamos analisar a Multiplicação por Escalar em Relação aos Vetores:
Para ser um espaço vetorial, deve ser que preserve todas as componentes do vetor após a multiplicação por escalar.
No nosso caso, a segunda componente de é sempre zero, independentemente do valor de e do vetor . Isso significa que, ao multiplicar um vetor por um escalar, a segunda componente não é escalada proporcionalmente, o que viola as propriedades esperadas de um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, munido das operações de adição e multiplicação por escalar definidas não é um espaço vetorial, pois a operação de multiplicação por escalar não preserva todas as componentes dos vetores, violando as propriedades necessárias para um espaço vetorial.

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