Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre sobre o circulo unitário.)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar se o integral de linha da função vetorial
entre os pontos
e
depende do caminho escolhido para ir de um ponto ao outro. Se for independente do caminho, vamos calcular o integral; se não for, vamos mostrar dois caminhos diferentes que dão resultados distintos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais conservativos e como integrar sobre uma curva fechada, usando também coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
. Se o campo for conservativo, o integral de linha será independente do caminho. Para isso, precisamos ver se a rota (ou rotacional) de
é zero.
Passo 3
Calculando a rota de
, temos:
Onde
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Apesar da rota ser zero, o campo
não é conservativo em todo o plano
porque o domínio não é simplesmente conexo (há um “buraco” na origem). Isso significa que o integral de linha pode depender do caminho escolhido, especialmente se o caminho contiver ou não a origem.
Passo 5
Vamos considerar o caminho circular unitário que passa pela origem. Calculando o integral sobre esse círculo:
Em coordenadas polares,
e
.
Então,
Isso mostra que o integral em um caminho que dá uma volta completa ao redor da origem não é zero.
Passo 6
Agora, vamos escolher dois caminhos diferentes de
a
:
-
Caminho A: Segue um arco de círculo que dá meia volta ao redor da origem, de
a . O integral nesse caso será . -
Caminho B: Vai direto em linha reta de
a sem contornar a origem. O integral nesse caso será 0.
Como os dois caminhos dão resultados diferentes (
), isso confirma que o integral de linha depende do caminho escolhido.
Resposta
O integral de linha não é independente do caminho. Dois caminhos diferentes de
a
dão valores distintos para o integral: um caminho gera integral igual a
e o outro gera integral igual a
.
Exercícios relacionados
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
onde
é a curva
.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Desenhe os campos vetoriais: