Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral: integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 backslash(0,0) dado por F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2 e C é qualquer caminho diferenciável entre os pontos (-1,0) e (0,1). (Dica: integre sobre o circulo unitário.)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que analisar se o integral de linha da função vetorial entre os pontos e depende do caminho escolhido para ir de um ponto ao outro. Se for independente do caminho, vamos calcular o integral; se não for, vamos mostrar dois caminhos diferentes que dão resultados distintos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais conservativos e como integrar sobre uma curva fechada, usando também coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que . Se o campo for conservativo, o integral de linha será independente do caminho. Para isso, precisamos ver se a rota (ou rotacional) de é zero.

Passo 3

Calculando a rota de rot , F = partial Qpartial x - partial Ppartial y , temos:
partial Qpartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
Onde partial Ppartial y = -1(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -(x^2 + y^2) + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 e rot , F = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 0 .
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Apesar da rota ser zero, o campo não é conservativo em todo o plano porque o domínio não é simplesmente conexo (há um “buraco” na origem). Isso significa que o integral de linha pode depender do caminho escolhido, especialmente se o caminho contiver ou não a origem.

Passo 5

Vamos considerar o caminho circular unitário que passa pela origem. Calculando o integral sobre esse círculo:
Em coordenadas polares, integralC F cdot ds = integral0^2pi ( -sintheta cdot (-sintheta) + costheta cdot costheta ) dtheta = integral0^2pi (sin^2theta + cos^2theta) dtheta = integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi e .
Então,
Isso mostra que o integral em um caminho que dá uma volta completa ao redor da origem não é zero.

Passo 6

Agora, vamos escolher dois caminhos diferentes de a :
  1. Caminho A: Segue um arco de círculo que dá meia volta ao redor da origem, de a . O integral nesse caso será .
  2. Caminho B: Vai direto em linha reta de a sem contornar a origem. O integral nesse caso será 0.
Como os dois caminhos dão resultados diferentes ( ), isso confirma que o integral de linha depende do caminho escolhido.

Resposta

O integral de linha não é independente do caminho. Dois caminhos diferentes de a dão valores distintos para o integral: um caminho gera integral igual a e o outro gera integral igual a .

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