Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: , onde é o campo vetorial em dado por onde é a curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha , onde é um campo vetorial em dado por . A curva é parametrizada por , com indo de até .
Vamos usar a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Isso significa que precisamos verificar se é um campo conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é igual ao gradiente de alguma função escalar, ou seja, . Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de satisfazem as condições de igualdade das derivadas cruzadas.
Calculamos o rotacional de :
Vamos calcular cada componente:
Substituindo:
Como o rotacional de é zero, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função que pode depender de e .
Agora, vamos derivar com relação a e igualar a :
Isso implica que , ou seja, não depende de . Então, .
Agora, derivamos com relação a :
Comparando com a expressão dada, percebemos que , portanto, é constante. Podemos considerar essa constante igual a zero para simplificar.
Então, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial , podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Isso nos diz que:
Onde e são os pontos inicial e final da curva .
A curva é parametrizada por , com indo de até .
Vamos encontrar os pontos inicial e final:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular nos pontos final e inicial.
Para o ponto inicial :
Para o ponto final :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral: , onde é o campo vetorial em dado por e é qualquer caminho diferenciável entre os pontos e . (Dica: integre sobre o circulo unitário.)
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