Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
onde
é a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha
, onde
é um campo vetorial em
dado por
. A curva
é parametrizada por
, com
indo de
até
.
Vamos usar a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Isso significa que precisamos verificar se
é um campo conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é igual ao gradiente de alguma função escalar, ou seja,
. Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de
satisfazem as condições de igualdade das derivadas cruzadas.
Calculamos o rotacional de
:
Vamos calcular cada componente:
Substituindo:
Como o rotacional de
é zero, o campo é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função que pode depender de
e
.
Agora, vamos derivar
com relação a
e igualar a
:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
. Então,
.
Agora, derivamos
com relação a
:
Comparando com a expressão dada, percebemos que
, portanto,
é constante. Podemos considerar essa constante igual a zero para simplificar.
Então, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial
, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Isso nos diz que:
Onde
e
são os pontos inicial e final da curva
.
A curva
é parametrizada por
, com
indo de
até
.
Vamos encontrar os pontos inicial e final:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
nos pontos final e inicial.
Para o ponto inicial
:
Para o ponto final
:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
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Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre sobre o circulo unitário.)
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