Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^3 dado por F(x, y, z)=y^2 cos z i+2 x y cos z j-x y^2 sin z k e onde C é a curva sigma(t)=t^2 i+sin t j+t k, 0 <= t <= 3 pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha , onde é um campo vetorial em dado por . A curva é parametrizada por , com indo de até .
Vamos usar a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Isso significa que precisamos verificar se é um campo conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é igual ao gradiente de alguma função escalar, ou seja, nabla times F = (-2xy sin z - (-2xy sin z)) i + (-y^2 sin z - (-y^2 sin z)) j + (2y cos z - 2y cos z) k = 0 . Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de satisfazem as condições de igualdade das derivadas cruzadas.
Calculamos o rotacional de :
Vamos calcular cada componente:
Substituindo:
Como o rotacional de é zero, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que partial phipartial x = y^2 cos z é conservativo, vamos encontrar a função potencial partial phipartial y = 2xy cos z tal que partial phipartial z = -xy^2 sin z . Isso significa que:
phi(x, y, z) = integral y^2 cos z , dx = y^2 cos z cdot x + g(y, z)
partial phipartial y = 2xy cos z + partial gpartial y = 2xy cos z
partial phipartial z = -y^2 sin z cdot x + dhdz = -xy^2 sin z
Vamos integrar phi(x, y, z) = x y^2 cos z em relação a :
Onde é uma função que pode depender de e .
Agora, vamos derivar com relação a e igualar a :
Isso implica que , ou seja, não depende de . Então, .
Agora, derivamos com relação a :
Comparando com a expressão dada, percebemos que , portanto, é constante. Podemos considerar essa constante igual a zero para simplificar.
Então, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial integralC F cdot d s = phi(r(b)) - phi(r(a)) , podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Isso nos diz que:
sigma(0) = 0^2 , i + sin 0 , j + 0 , k = (0, 0, 0)
Onde sigma(3pi4) = ((3pi4)^2, sin(3pi4), 3pi4) = (9pi^216, raiz22, 3pi4) e são os pontos inicial e final da curva .
A curva é parametrizada por , com indo de até .
Vamos encontrar os pontos inicial e final:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular phi(0, 0, 0) = 0 cdot 0^2 cos 0 = 0 nos pontos final e inicial.
Para o ponto inicial phi(9pi^216, raiz22, 3pi4) = 9pi^216 (raiz22)^2 cos(3pi4) = 9pi^216 cdot 24 cdot (-raiz22) = 9pi^216 cdot 12 cdot (-raiz22) = -9pi^2 raiz264 :
Para o ponto final :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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