Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da série alternada, que é super útil quando a gente tem termos que mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa série é uma série alternada, porque o termo faz com que os sinais dos termos alterem entre positivo e negativo conforme aumenta. O teste da série alternada nos ajuda a decidir a convergência nessa situação.

Passo 3

O teste da série alternada diz que, se temos uma série da forma , onde , então a série converge se:
  1. Os termos são decrescentes: para todo .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero: .

Passo 4

Vamos aplicar esses dois critérios na nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Agora, vamos verificar se é decrescente. Observando a função , conforme aumenta, o denominador cresce, então o valor da fração diminui. Portanto, é realmente decrescente.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como o limite é zero, satisfazemos o segundo critério do teste.

Passo 6

Já que os dois critérios do teste da série alternada são atendidos — os termos são decrescentes e o limite dos é zero — podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: , onde é o campo vetorial em dado por onde é a curva .
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral: , onde é o campo vetorial em dado por e é qualquer caminho diferenciável entre os pontos e . (Dica: integre sobre o circulo unitário.)