Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da série alternada, que é super útil quando a gente tem termos que mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa série é uma série alternada, porque o termo
faz com que os sinais dos termos alterem entre positivo e negativo conforme
aumenta. O teste da série alternada nos ajuda a decidir a convergência nessa situação.
Passo 3
O teste da série alternada diz que, se temos uma série da forma
, onde
, então a série converge se:
- Os termos
são decrescentes: para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Passo 4
Vamos aplicar esses dois critérios na nossa série. Primeiro, identifiquemos
:
Agora, vamos verificar se
é decrescente. Observando a função
, conforme
aumenta, o denominador cresce, então o valor da fração diminui. Portanto,
é realmente decrescente.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite é zero, satisfazemos o segundo critério do teste.
Passo 6
Já que os dois critérios do teste da série alternada são atendidos — os termos são decrescentes e o limite dos
é zero — podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
onde
é a curva
.
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre sobre o circulo unitário.)