Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos analisar a série
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de convergência de séries, especialmente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Série Alternada e entender algumas propriedades básicas das séries.
Passo 2
Primeiro, observe que a série é alternada por causa do termo
. Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo. Quando lidamos com séries alternadas, o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz) é uma ferramenta muito útil para determinar se a série converge.
Passo 3
O Teste da Série Alternada estabelece que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- A sequência
é decrescente, ou seja, para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, isto é, .
Vamos verificar essas condições para a nossa série, onde
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se
é decrescente. Considerando
:
- Conforme
aumenta, tanto quanto aumentam. - Isso faz com que o denominador
fique maior, fazendo com que diminua. - Portanto,
é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar o segundo critério, que é o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso acontece porque
cresce sem limites conforme
aumenta, fazendo com que o inverso tende a zero.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas:
-
é decrescente. -
.
Podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre sobre o circulo unitário.)
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
onde
é a curva
.
Desenhe os campos vetoriais:
Teste a série quanto a convergência ou divergência.