Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Vamos analisar a série . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de convergência de séries, especialmente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Série Alternada e entender algumas propriedades básicas das séries.

Passo 2

Primeiro, observe que a série é alternada por causa do termo . Isso significa que os termos da série mudam de sinal a cada passo. Quando lidamos com séries alternadas, o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz) é uma ferramenta muito útil para determinar se a série converge.

Passo 3

O Teste da Série Alternada estabelece que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. A sequência é decrescente, ou seja, para todo .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, isto é, .
Vamos verificar essas condições para a nossa série, onde .

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se é decrescente. Considerando :
  • Conforme aumenta, tanto quanto aumentam.
  • Isso faz com que o denominador fique maior, fazendo com que diminua.
  • Portanto, é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar o segundo critério, que é o limite de quando tende ao infinito:
Isso acontece porque cresce sem limites conforme aumenta, fazendo com que o inverso tende a zero.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas:
  1. é decrescente.
  2. .
Podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral: , onde é o campo vetorial em dado por e é qualquer caminho diferenciável entre os pontos e . (Dica: integre sobre o circulo unitário.)
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: , onde é o campo vetorial em dado por onde é a curva .
Desenhe os campos vetoriais:
Teste a série quanto a convergência ou divergência.