Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. O enunciado nos dá um campo vetorial
em
e uma curva
definida por
no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, verificar se o campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o “trânsito” do campo vetorial ao longo da curva
. A fórmula geral é:
Onde
é o campo vetorial e
é um elemento infinitesimal da curva.
Passo 3
Agora, para usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, a gente precisa que o campo vetorial
seja conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
. Se for o caso, a integral de linha depende apenas dos valores de
nos pontos inicial e final da curva
.
Passo 4
Para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Calculando:
Calculando cada componente:
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
- Terceiro componente:
Portanto,
, indicando que
é um campo conservativo.
Passo 5
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar essa função
.
Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos com a segunda componente de
:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos com a terceira componente de
:
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar. Então, a função potencial é:
Passo 6
Agora que temos a função potencial
, podemos usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Segundo esse teorema:
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva
definida por
no intervalo
.
Quando
:
Quando
:
Passo 7
Agora, aplicamos a função potencial nos pontos final e inicial:
Sabendo que
:
Passo 8
Finalmente, a integral de linha é:
Resposta
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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é a curva
.
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre no semicírculo de raio
e sobre a poligonal que une os vértices
.