Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^3 dado por F(x, y, z)=(e^y, x e^y+sin z, y cos z) e C é a curva sigma(t)=(-2 sin t+1, sin t-1, t), pi / 2 <= t <= 7 pi / 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. O enunciado nos dá um campo vetorial em e uma curva definida por no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, verificar se o campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o “trânsito” do campo vetorial ao longo da curva integralC F cdot ds . A fórmula geral é:
Onde é o campo vetorial e é um elemento infinitesimal da curva.

Passo 3

Agora, para usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, a gente precisa que o campo vetorial seja conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que . Se for o caso, a integral de linha depende apenas dos valores de nos pontos inicial e final da curva .

Passo 4

Para verificar se F = (e^y, x e^y+sin z, y cos z) é conservativo, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partialpartial y(y cos z) - partialpartial z(x e^y + sin z), partialpartial z(e^y) - partialpartial x(y cos z), partialpartial x(x e^y + sin z) - partialpartial y(e^y) ) , ou seja, partialpartial y(y cos z) = cos z . Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Calculando:
partialpartial z(x e^y + sin z) = cos z
Primeiro componente = cos z - cos z = 0
Calculando cada componente:
  1. Primeiro componente:
partialpartial z(e^y) = 0
partialpartial x(y cos z) = 0
Segundo componente = 0 - 0 = 0
  1. Segundo componente:
partialpartial x(x e^y + sin z) = e^y
partialpartial y(e^y) = e^y
Terceiro componente = e^y - e^y = 0
  1. Terceiro componente:
Portanto, , indicando que é um campo conservativo.

Passo 5

Como partial fpartial x = e^y é conservativo, existe uma função potencial partial fpartial y = x e^y + sin z tal que partial fpartial z = y cos z . Vamos encontrar essa função f(x, y, z) = x e^y + g(y, z) .
Sabemos que:
partial fpartial y = x e^y + partial gpartial y = x e^y + sin z
partial gpartial y = sin z
g(y, z) = y sin z + h(z)
Integrando partial fpartial z = y cos z + dhdz = y cos z em relação a dhdz = 0 Rightarrow h(z) = constante :
f(x, y, z) = x e^y + y sin z
Agora, derivamos em relação a e igualamos com a segunda componente de :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos com a terceira componente de :
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar. Então, a função potencial é:

Passo 6

Agora que temos a função potencial integralC F cdot ds = f(Ponto Final) - f(Ponto Inicial) , podemos usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Segundo esse teorema:
sigma(pi2) = (-2 sin pi2 + 1, sin pi2 - 1, pi2) = (-2 cdot 1 + 1, 1 - 1, pi2) = (-1, 0, pi2)
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva sigma(7pi6) = (-2 sin 7pi6 + 1, sin 7pi6 - 1, 7pi6) = (-2 cdot (-12) + 1, -12 - 1, 7pi6) = (2 cdot 12 + 1, -32, 7pi6) = (2, -32, 7pi6) definida por no intervalo .
Quando :
Quando :

Passo 7

Agora, aplicamos a função potencial nos pontos final e inicial:
f(Ponto Final) = f(2, -32, 7pi6) = 2 e^-32 + (-32) sin (7pi6)
Sabendo que f(Ponto Final) = 2 e^-32 + (-32) cdot (-12) = 2 e^-32 + 34 :
f(Ponto Inicial) = f(-1, 0, pi2) = (-1) e^0 + 0 cdot sin (pi2) = -1 + 0 = -1

Passo 8

Finalmente, a integral de linha é:
integralC F cdot ds = f(Ponto Final) - f(Ponto Inicial) = (2 e^-32 + 34) - (-1) = 2 e^-32 + 34 + 1 = 2 e^-32 + 74

Resposta

integralC F cdot ds = 2 e^-32 + 74

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