Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e é a curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. O enunciado nos dá um campo vetorial em e uma curva definida por no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, verificar se o campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o “trânsito” do campo vetorial ao longo da curva . A fórmula geral é:
Onde é o campo vetorial e é um elemento infinitesimal da curva.

Passo 3

Agora, para usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, a gente precisa que o campo vetorial seja conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que . Se for o caso, a integral de linha depende apenas dos valores de nos pontos inicial e final da curva .

Passo 4

Para verificar se é conservativo, vamos calcular o rotacional de , ou seja, . Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Calculando:
Calculando cada componente:
  1. Primeiro componente:
  1. Segundo componente:
  1. Terceiro componente:
Portanto, , indicando que é um campo conservativo.

Passo 5

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que . Vamos encontrar essa função .
Sabemos que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos com a segunda componente de :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos com a terceira componente de :
Isso implica que:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar. Então, a função potencial é:

Passo 6

Agora que temos a função potencial , podemos usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Segundo esse teorema:
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva definida por no intervalo .
Quando :
Quando :

Passo 7

Agora, aplicamos a função potencial nos pontos final e inicial:
Sabendo que :

Passo 8

Finalmente, a integral de linha é:

Resposta

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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e a curva é dada por .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde é a curva plana dada por .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e C é a curva .
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
, onde é o campo vetorial em dado por e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos e . (Dica: integre no semicírculo de raio e sobre a poligonal que une os vértices .