Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta quer saber em quais intervalos a função
está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta. Precisamos calcular a derivada de
e analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos diz a inclinação da função; se for positiva, a função está subindo, se for negativa, está descendo.
A função dada é:
Usaremos a regra do quociente para derivar, que é:
onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
.
O denominador
é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo, exceto quando
, ou seja,
, onde a função não está definida.
O numerador
também é sempre positivo, já que
é sempre não negativo e 4 é positivo.
Então,
é sempre positivo onde a função está definida.
Passo 6
Como a derivada
é positiva em todos os intervalos onde a função está definida, isso significa que
está sempre crescente nesses intervalos.
Lembrando que a função não está definida em
, então precisamos dividir o domínio nesses pontos.
O domínio de
é todos os reais exceto
, ou seja:
Resposta
A função
é crescente em todos os intervalos onde está definida:
Ela não é decrescente em nenhum intervalo.
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Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
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