Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
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Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta quer saber em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta. Precisamos calcular a derivada de e analisar onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos diz a inclinação da função; se for positiva, a função está subindo, se for negativa, está descendo.
A função dada é:
Usaremos a regra do quociente para derivar, que é:
onde e .

Passo 3

Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal da derivada .
O denominador é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo, exceto quando , ou seja, , onde a função não está definida.
O numerador também é sempre positivo, já que é sempre não negativo e 4 é positivo.
Então, é sempre positivo onde a função está definida.

Passo 6

Como a derivada é positiva em todos os intervalos onde a função está definida, isso significa que está sempre crescente nesses intervalos.
Lembrando que a função não está definida em , então precisamos dividir o domínio nesses pontos.
O domínio de é todos os reais exceto , ou seja:

Resposta

A função é crescente em todos os intervalos onde está definida:
Ela não é decrescente em nenhum intervalo.

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