Diga em quais intervalos as funções a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo. A questão pede para descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos diz a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo. Então, vamos derivar cada termo de :

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
Então, a derivada completa é:

Passo 4

Vamos simplificar a derivada fatorando:

Passo 5

Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos saber onde a derivada é positiva ou negativa. Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde :
Isso ocorre quando:

Passo 6

Vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos: , e . Em cada intervalo, vamos escolher um número de teste e ver o sinal da derivada.
  • Intervalo : Vamos escolher
    A derivada é positiva, então a função está crescendo.
  • Intervalo : Vamos escolher
    A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
  • Intervalo : Vamos escolher
    A derivada é positiva, então a função está crescendo.

Resposta

A função está crescente nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo .

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